Sabendo que lim x a f(x)=0 e que g(x) é uma função limitada, use o Teorema do confronto para mostrar que lim x a[f(x) g(x)]=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a 0, usando o Teorema do Confronto. Vamos precisar entender o que é um limite, o que significa que uma função é limitada e como aplicar o Teorema do Confronto nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Isso significa que, conforme se aproxima de , o valor de fica cada vez mais perto de 0.

Passo 3

Também nos dizem que é uma função limitada. Isso quer dizer que existe um número real tal que, para todo próximo de , . Em outras palavras, não cresce sem limites; seus valores estão “limitados” por .

Passo 4

Agora, queremos encontrar o limite de quando se aproxima de . Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que nos diz que se e os limites de e são iguais a , então o limite de também é .

Passo 5

Vamos aplicar isso aqui. Sabemos que |f(x) cdot g(x)| <= |f(x)| cdot M . Então, podemos multiplicar ambos os lados por (que é sempre positivo) e obter:

Passo 6

Como limx to a |f(x)| cdot M = 0 cdot M = 0 , então também. Portanto,

Passo 7

Pelo Teorema do Confronto, já que limx to a f(x) cdot g(x) = 0 está “confinado” entre e , e ambos os limites laterais são 0, então:

Resposta

limx a [f(x) cdot g(x)] = 0

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lim x 0(2 x+1x^2+x)
Calcule os limites abaixo:
lim x 0-(1x)
Verifique se as funções dadas abaixo são contínuas no pontos indicado:
f(x)={ (x^2-4)/(x-2), se x ≠ 2 ; 4, se x=2 } no ponto x = 2.
Seja f uma função real contínua, definida em torno do ponto a = 1, tal que f(x)=(x^2-3x+2)/(x-1), para x != 1. Calcule o valor de f(1).