Sabendo que
e que
é uma função limitada, use o Teorema do confronto para mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a 0, usando o Teorema do Confronto. Vamos precisar entender o que é um limite, o que significa que uma função é limitada e como aplicar o Teorema do Confronto nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
. Isso significa que, conforme
se aproxima de
, o valor de
fica cada vez mais perto de 0.
Passo 3
Também nos dizem que
é uma função limitada. Isso quer dizer que existe um número real
tal que, para todo
próximo de
,
. Em outras palavras,
não cresce sem limites; seus valores estão “limitados” por
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar o limite de
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que nos diz que se
e os limites de
e
são iguais a
, então o limite de
também é
.
Passo 5
Vamos aplicar isso aqui. Sabemos que
. Então, podemos multiplicar ambos os lados por
(que é sempre positivo) e obter:
Passo 6
Como
, então
também. Portanto,
Passo 7
Pelo Teorema do Confronto, já que
está “confinado” entre
e
, e ambos os limites laterais são 0, então:
Resposta
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Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo:
Verifique se as funções dadas abaixo são contínuas no pontos indicado:
no ponto
.
Seja
uma função real contínua, definida em torno do ponto
, tal que
, para
. Calcule o valor de
.