Verifique se as funções dadas abaixo são contínuas no pontos indicado:
f(x) = { (x^2 - 5x + 6) / (x - 3), se x ≠ 3; 0, se x = 3 } no ponto x = 3.

Passo 1

Aqui a gente tem uma função definida de duas formas: uma quando e outra quando . O objetivo é verificar se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se três condições forem atendidas:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite da função quando se aproxima do ponto existe.
  3. O limite da função é igual ao valor da função nesse ponto.
No nosso caso, a função está definida em e vale 0 lá. Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3.

Passo 3

Para , a função é . Vamos fatorar o numerador:
Então, a função fica:
Podemos cancelar no numerador e denominador (desde que ):

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3 usando a forma simplificada:

Passo 5

Agora, comparamos o limite com o valor da função em :
Limite: 1
Valor da função: 0
Como 1 não é igual a 0, a função não satisfaz a condição de continuidade.

Resposta

A função não é contínua no ponto .

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