Verifique se as funções dadas abaixo são contínuas no pontos indicado:
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função dada é contínua no ponto
. Isso envolve entender o que é continuidade, que faz parte da matéria de Cálculo, e usar conceitos de limites para resolver. Vamos precisar analisar o comportamento da função perto de
e comparar com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se três condições forem verdadeiras:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa função no ponto
.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se
está definida. Olhando para a definição da função:
Então, sim,
está definida e vale 4.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2. Para
, a função é:
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador:
Então, substituindo:
Agora, o limite fica mais simples:
Passo 5
Por fim, vamos comparar o limite que calculamos com o valor da função em
:
Como os dois são iguais, a terceira condição da continuidade também está satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Sabendo que
e que
é uma função limitada, use o Teorema do confronto para mostrar que
.
Calcule os limites abaixo:
Seja
uma função real contínua, definida em torno do ponto
, tal que
, para
. Calcule o valor de
.
Verifique se as funções dadas abaixo são contínuas no pontos indicado:
no ponto
.