Verifique se as funções dadas abaixo são contínuas no pontos indicado:
f(x)={ (x^2-4)/(x-2), se x ≠ 2 ; 4, se x=2 } no ponto x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função dada é contínua no ponto . Isso envolve entender o que é continuidade, que faz parte da matéria de Cálculo, e usar conceitos de limites para resolver. Vamos precisar analisar o comportamento da função perto de e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa função no ponto .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se está definida. Olhando para a definição da função:
Então, sim, está definida e vale 4.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2. Para , a função é:
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador:
Então, substituindo:
Agora, o limite fica mais simples:

Passo 5

Por fim, vamos comparar o limite que calculamos com o valor da função em :
Como os dois são iguais, a terceira condição da continuidade também está satisfeita.

Resposta

Sim, a função é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Sabendo que lim x a f(x)=0 e que g(x) é uma função limitada, use o Teorema do confronto para mostrar que lim x a[f(x) g(x)]=0.
Calcule os limites abaixo:
lim x 0(2 x+1x^2+x)
Seja f uma função real contínua, definida em torno do ponto a = 1, tal que f(x)=(x^2-3x+2)/(x-1), para x != 1. Calcule o valor de f(1).
Verifique se as funções dadas abaixo são contínuas no pontos indicado:
f(x) = { x^2, se x >= -1; 1 - |x|, se x <= -1 } no ponto x = 1.