Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular
. Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente em limites exponenciais. Para resolver, vamos usar propriedades de logaritmos e exponenciais, além da regra de L’Hôpital quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Uma boa estratégia é usar o logaritmo natural para transformar a potência. Então, vamos definir:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar
e depois exponentiar para achar
.
Passo 3
Vamos analisar o limite
. Quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1, então
.
Portanto, podemos aproximar:
E sabemos que para
pequeno,
. Então:
Passo 4
Substituindo essa aproximação no limite:
Então,
.
Passo 5
Para achar
, basta aplicar a função exponencial nos dois lados:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que
;
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de
. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro for
?
Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e
,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo: