Calcule os limites abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular . Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente em limites exponenciais. Para resolver, vamos usar propriedades de logaritmos e exponenciais, além da regra de L’Hôpital quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Uma boa estratégia é usar o logaritmo natural para transformar a potência. Então, vamos definir:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar e depois exponentiar para achar .

Passo 3

Vamos analisar o limite . Quando se aproxima de 0, se aproxima de 1, então .
Portanto, podemos aproximar:
E sabemos que para pequeno, . Então:

Passo 4

Substituindo essa aproximação no limite:
Então, .

Passo 5

Para achar , basta aplicar a função exponencial nos dois lados:

Resposta

O limite é .

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, sabendo que ;
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
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(ii). Determine as assíntotas,
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(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
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