Calcule os limites abaixo:
lim x 0^+(e^x+3 x)^1 / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular . Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente em limites exponenciais. Para resolver, vamos usar propriedades de logaritmos e exponenciais, além da regra de L’Hôpital quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Uma boa estratégia é usar o logaritmo natural para transformar a potência. Então, vamos definir:
L = limx to 0^+ ( e^x + 3x )^1/x
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
ln L = limx to 0^+ ln( e^x + 3x )x
Agora, nosso objetivo é encontrar e depois exponentiar para achar .

Passo 3

Vamos analisar o limite ln( e^x + 3x ) approx ln(1 + 4x) . Quando ln(1 + 4x) approx 4x se aproxima de 0, se aproxima de 1, então .
Portanto, podemos aproximar:
E sabemos que para pequeno, . Então:

Passo 4

Substituindo essa aproximação no limite:
ln L = limx to 0^+ 4xx = limx to 0^+ 4 = 4
Então, .

Passo 5

Para achar L = e^ln L = e^4 , basta aplicar a função exponencial nos dois lados:

Resposta

O limite é .

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