Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
f(x) = 1/(x^2 + 1), sabendo que f''(x) = 2(3x^2 - 1) / (1 + x^2)^3;

Passo 1

Então, a gente precisa descobrir em quais intervalos o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função, que já foi fornecida:
Vamos precisar entender o que significa concavidade para cima e para baixo e como a segunda derivada nos ajuda a determinar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que:
  • Concavidade para cima acontece quando a segunda derivada é positiva: .
  • Concavidade para baixo acontece quando a segunda derivada é negativa: .
Agora, vamos analisar a expressão da segunda derivada:
Vamos ver o sinal de :
  1. Denominador : Como é sempre positivo ou zero, é sempre positivo. Elevando a positivo a qualquer potência, continua sendo positivo. Então, o denominador é sempre positivo.
  2. Numerador : O sinal depende de :
    • quando , ou seja, quando .
    • quando , ou seja, quando .
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de depende apenas do numerador .

Passo 3

Agora, vamos determinar os intervalos:
  • Concavidade para cima ( ):
    Portanto, a concavidade é para cima quando ou .
  • Concavidade para baixo ( ):
    Portanto, a concavidade é para baixo quando .

Resposta

A função é côncava para cima nos intervalos e , e côncava para baixo no intervalo .

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