Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que
;
Passo 1
Então, a gente precisa descobrir em quais intervalos o gráfico da função
é côncavo para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função, que já foi fornecida:
Vamos precisar entender o que significa concavidade para cima e para baixo e como a segunda derivada nos ajuda a determinar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que:
- Concavidade para cima acontece quando a segunda derivada
é positiva: . - Concavidade para baixo acontece quando a segunda derivada
é negativa: .
Agora, vamos analisar a expressão da segunda derivada:
Vamos ver o sinal de
:
-
Denominador
: Como é sempre positivo ou zero, é sempre positivo. Elevando a positivo a qualquer potência, continua sendo positivo. Então, o denominador é sempre positivo. -
Numerador
: O sinal depende de : -
quando , ou seja, quando . -
quando , ou seja, quando .
-
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de
depende apenas do numerador
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os intervalos:
-
Concavidade para cima (
): Portanto, a concavidade é para cima quandoou . -
Concavidade para baixo (
): Portanto, a concavidade é para baixo quando.
Resposta
A função
é côncava para cima nos intervalos
e
, e côncava para baixo no intervalo
.
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