Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de
. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro for
?
Passo 1
Beleza, pessoal! Vamos resolver um problema de taxas relacionadas. O enunciado diz que está enchendo um balão esférico e o volume está aumentando a uma taxa de
. Queremos descobrir quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume
de uma esfera está relacionado ao raio
pela fórmula:
Essa fórmula nos mostra como o volume muda com o raio.
Passo 3
Agora, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
para encontrar a taxa de variação do raio:
Aqui,
é a taxa de variação do volume e
é a taxa de variação do raio que queremos descobrir.
Passo 4
Sabemos que
e que o diâmetro é
, então o raio
é metade disso:
Vamos substituir esses valores na equação que achamos.
Passo 5
Substituindo os valores na equação:
Agora, precisamos resolver para
.
Passo 6
Calculando
:
Então a equação fica:
Passo 7
Multiplicando
:
A equação agora é:
Passo 8
Isolando
:
Portanto, a taxa de variação do raio é
cm/s.
Resposta
Quando o diâmetro do balão for
, o raio está crescendo a uma taxa de
.