Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm³/s. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro for 50 cm ?

Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos resolver um problema de taxas relacionadas. O enunciado diz que está enchendo um balão esférico e o volume está aumentando a uma taxa de . Queremos descobrir quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de uma esfera está relacionado ao raio pela fórmula:
Essa fórmula nos mostra como o volume muda com o raio.

Passo 3

Agora, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo para encontrar a taxa de variação do raio:
Aqui, é a taxa de variação do volume e é a taxa de variação do raio que queremos descobrir.

Passo 4

Sabemos que e que o diâmetro é , então o raio é metade disso:
Vamos substituir esses valores na equação que achamos.

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
Agora, precisamos resolver para .

Passo 6

Calculando :
Então a equação fica:

Passo 7

Multiplicando :
A equação agora é:

Passo 8

Isolando :
Portanto, a taxa de variação do raio é cm/s.

Resposta

Quando o diâmetro do balão for , o raio está crescendo a uma taxa de .

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