Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e ,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa analisar vários aspectos dela, como intersecção com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo, concavidade e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas para analisar crescimento, concavidade e encontrar extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a função intersecta os eixos e .
  • Interseção com o eixo : Para isso, substituímos na função.
    Então, a função cruza o eixo no ponto .
  • Interseção com o eixo : Aqui, igualamos e resolvemos para .
    Portanto, o único ponto de interseção com o eixo também é .

Passo 3

Agora, vamos determinar as assíntotas da função.
  • Assíntota vertical: Ela ocorre onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
    Então, há uma assíntota vertical em .
  • Assíntota horizontal: Analisamos o limite da função quando tende ao infinito.
    Portanto, há uma assíntota horizontal em .

Passo 4

Vamos agora encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos da primeira derivada de .
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, analisamos onde é positiva ou negativa:
  • Crescimento:
  • Decrescimento: ou

Passo 5

Vamos identificar os pontos de máximo e mínimo locais. Esses pontos ocorrem onde a derivada primeiro se anula ou muda de sinal.
Resolvendo :
No entanto, em , a função não está definida (assíntota vertical). Então, consideramos apenas .
Vamos verificar o comportamento da derivada em torno de :
  • Para , (decrescente)
  • Para , (crescente)
Portanto, em temos um mínimo local.
Calculando :
Então, o ponto de mínimo local é .

Passo 6

Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade. Para isso, precisamos da segunda derivada de .
A primeira derivada já está:
Calculando a segunda derivada :
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de :
  • Concavidade para cima:
    Resolvendo , temos ou
    Então, a concavidade para cima ocorre em e .
  • Concavidade para baixo:

Passo 7

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função considerando todas as informações que obtivemos:
  • Interseção com os eixos:
  • Assíntotas: Vertical em e horizontal em
  • Crescimento e Decrescimento:
    • Cresce em
    • Decresce em e
  • Ponto de mínimo local:
  • Concavidade:
    • Para cima em e
    • Para baixo em
Com todos esses dados, podemos esboçar o gráfico, observando o comportamento próximo às assíntotas e nos intervalos determinados.

Resposta

A função intercepta os eixos no ponto , possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . Ela cresce no intervalo , decresce em e , tem um ponto de mínimo local em , e apresenta concavidade para cima em e , e para baixo em . O esboço do gráfico reflete esses comportamentos.

Exercícios relacionados

Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de . Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro for ?
Calcule os limites abaixo:
Uma escada de de comprimento está apoiada em uma parede. O alto da escada está escorregando para baixo ao longo da parede com uma velocidade de . Com que velocidade a base da escada está se afastando da parede quando o alto se encontra a 3 m do chão?
Uma estimativa muito utilizada para determinar a quantidade de madeira que existe em uma tora de eucalipto desprezando-se a sua casca é o volume dado por
onde é a altura da tora, e são os raios superior e inferior da tora, respectivamente. As taxas de aumento de e são respectivamente ano, /ano e ano. Qual a taxa de aumento de no instante em que ?