Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos
e
,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa analisar vários aspectos dela, como intersecção com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo, concavidade e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas para analisar crescimento, concavidade e encontrar extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a função intersecta os eixos
e
.
-
Interseção com o eixo
: Para isso, substituímos na função. Então, a função cruza o eixono ponto . -
Interseção com o eixo
: Aqui, igualamos e resolvemos para . Portanto, o único ponto de interseção com o eixotambém é .
Passo 3
Agora, vamos determinar as assíntotas da função.
-
Assíntota vertical: Ela ocorre onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.Então, há uma assíntota vertical em
. -
Assíntota horizontal: Analisamos o limite da função quando
tende ao infinito. Portanto, há uma assíntota horizontal em.
Passo 4
Vamos agora encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos da primeira derivada de
.
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, analisamos onde
é positiva ou negativa:
- Crescimento:
- Decrescimento:
ou
Passo 5
Vamos identificar os pontos de máximo e mínimo locais. Esses pontos ocorrem onde a derivada primeiro se anula ou muda de sinal.
Resolvendo
:
No entanto, em
, a função não está definida (assíntota vertical). Então, consideramos apenas
.
Vamos verificar o comportamento da derivada em torno de
:
- Para
, (decrescente) - Para
, (crescente)
Portanto, em
temos um mínimo local.
Calculando
:
Então, o ponto de mínimo local é
.
Passo 6
Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade. Para isso, precisamos da segunda derivada de
.
A primeira derivada já está:
Calculando a segunda derivada
:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de
:
-
Concavidade para cima:
Resolvendo, temos ou Então, a concavidade para cima ocorre eme . -
Concavidade para baixo:
Passo 7
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função
considerando todas as informações que obtivemos:
- Interseção com os eixos:
- Assíntotas: Vertical em
e horizontal em - Crescimento e Decrescimento:
- Cresce em
- Decresce em
e
- Cresce em
- Ponto de mínimo local:
- Concavidade:
- Para cima em
e - Para baixo em
- Para cima em
Com todos esses dados, podemos esboçar o gráfico, observando o comportamento próximo às assíntotas e nos intervalos determinados.
Resposta
A função
intercepta os eixos no ponto
, possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. Ela cresce no intervalo
, decresce em
e
, tem um ponto de mínimo local em
, e apresenta concavidade para cima em
e
, e para baixo em
. O esboço do gráfico reflete esses comportamentos.
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