Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função e queremos descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo, onde a concavidade é para cima ou para baixo, encontrar os extremos relativos (máximos e mínimos) e os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada nos ajuda a saber a taxa de variação da função.
A função é . Usando a regra da derivada de uma função racional, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar onde é positiva ou negativa. Isso vai nos dizer onde a função está aumentando ou diminuindo.
O numerador de é e o denominador é sempre positivo, porque é um quadrado. Portanto, o sinal de depende apenas do numerador.
Resolvendo :
E para :

Passo 4

Então, concluímos que:
  • quando → função está crescente nesse intervalo.
  • quando → função está decrescente nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os extremos relativos. Os extremos acontecem onde a derivada é zero ou não existe. Aqui, a derivada nunca não existe, então vamos igualar a zero:
Então, em temos um ponto crítico. Analisando o comportamento da derivada:
  • Antes de , a função está crescendo.
  • Depois de , está decrescendo.
Isso indica que é um máximo relativo.

Passo 6

Agora vamos para a concavidade da função e os pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada .
Primeiro, calculamos .
Vamos derivar :
Simplificando, encontramos:

Passo 7

Vamos analisar o sinal de para determinar a concavidade.
O denominador é sempre positivo. Então, o sinal de depende de .
Resolvendo :
E para :

Passo 8

Concluímos que:
  • quando → concavidade para cima nesse intervalo.
  • quando → concavidade para baixo nesse intervalo.
Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, em .

Passo 9

Vamos resumir tudo para fazer o esboço da curva:
  • Crescente para .
  • Decrescente para .
  • Máximo relativo em .
  • Concavidade para baixo para .
  • Concavidade para cima para .
  • Ponto de inflexão em .

Resposta

A função é crescente em e decrescente em . Possui um máximo relativo em . A concavidade é para baixo em e para cima em , com um ponto de inflexão em . O esboço da curva refletirá esses comportamentos, apresentando um pico no ponto e uma mudança na concavidade nesse mesmo ponto.

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, sabendo que ;
Calcule os limites abaixo: