Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função
e queremos descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo, onde a concavidade é para cima ou para baixo, encontrar os extremos relativos (máximos e mínimos) e os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada nos ajuda a saber a taxa de variação da função.
A função é
. Usando a regra da derivada de uma função racional, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar onde
é positiva ou negativa. Isso vai nos dizer onde a função está aumentando ou diminuindo.
O numerador de
é
e o denominador
é sempre positivo, porque é um quadrado. Portanto, o sinal de
depende apenas do numerador.
Resolvendo
:
E para
:
Passo 4
Então, concluímos que:
-
quando → função está crescente nesse intervalo. -
quando → função está decrescente nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os extremos relativos. Os extremos acontecem onde a derivada é zero ou não existe. Aqui, a derivada nunca não existe, então vamos igualar
a zero:
Então, em
temos um ponto crítico. Analisando o comportamento da derivada:
- Antes de
, a função está crescendo. - Depois de
, está decrescendo.
Isso indica que
é um máximo relativo.
Passo 6
Agora vamos para a concavidade da função e os pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada
.
Primeiro, calculamos
.
Vamos derivar
:
Simplificando, encontramos:
Passo 7
Vamos analisar o sinal de
para determinar a concavidade.
O denominador
é sempre positivo. Então, o sinal de
depende de
.
Resolvendo
:
E para
:
Passo 8
Concluímos que:
-
quando → concavidade para cima nesse intervalo. -
quando → concavidade para baixo nesse intervalo.
Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, em
.
Passo 9
Vamos resumir tudo para fazer o esboço da curva:
- Crescente para
. - Decrescente para
. - Máximo relativo em
. - Concavidade para baixo para
. - Concavidade para cima para
. - Ponto de inflexão em
.
Resposta
A função
é crescente em
e decrescente em
. Possui um máximo relativo em
. A concavidade é para baixo em
e para cima em
, com um ponto de inflexão em
. O esboço da curva refletirá esses comportamentos, apresentando um pico no ponto
e uma mudança na concavidade nesse mesmo ponto.
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que
;
Calcule os limites abaixo: