Sejam sumn=0^infty x^nn! e sumn=0^infty n!x^n séries de potências. Determine os intervalos de convergência e divergência das séries.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar duas séries de potências: e . Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos essas séries convergem ou divergem. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bacana pra determinar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a série L = limn to infty | x^n+1(n+1)!x^nn! | = limn to infty | x^n+1 cdot n!x^n cdot (n+1)! | = limn to infty | xn+1 | = 0 . O Teste da Razão nos ajuda a achar o limite do valor absoluto do quociente entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Então, vamos calcular:
Como 0 é menor que 1, essa série converge para todo valor de . Ou seja, o intervalo de convergência é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda série: L = limn to infty | (n+1)!x^n+1n!x^n | = limn to infty | (n+1)x | = limn to infty (n+1)|x| . Vamos aplicar o Teste da Razão novamente.
Calculando o limite:
Aqui, dá pra ver que se , o limite tende ao infinito, que é maior que 1. Isso significa que a série diverge para qualquer diferente de zero. Porém, se , a série simplesmente soma zeros, o que significa que ela converge nesse ponto.

Resposta

  • A série converge para todo .
  • A série diverge para todo , exceto quando .

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