Sejam e séries de potências. Determine os intervalos de convergência e divergência das séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar duas séries de potências: e . Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos essas séries convergem ou divergem. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bacana pra determinar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a série . O Teste da Razão nos ajuda a achar o limite do valor absoluto do quociente entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Então, vamos calcular:
Como 0 é menor que 1, essa série converge para todo valor de . Ou seja, o intervalo de convergência é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda série: . Vamos aplicar o Teste da Razão novamente.
Calculando o limite:
Aqui, dá pra ver que se , o limite tende ao infinito, que é maior que 1. Isso significa que a série diverge para qualquer diferente de zero. Porém, se , a série simplesmente soma zeros, o que significa que ela converge nesse ponto.