Calcule os limites abaixo:
lim (x, y) (0,0) cos (x y)-1x.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e vamos usar conceitos de cálculo de limites envolvendo séries de Taylor para resolver. Vamos precisar entender como a função cosseno se comporta perto de zero e aplicar isso para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expansão em série de Taylor da função cosseno perto de zero. Sabemos que:
cos(z) = 1 - z^22 + z^424 - dots
Essa fórmula nos ajuda a aproximar quando é bem pequeno.

Passo 3

No nosso caso, cos(x y) = 1 - (x y)^22 + (x y)^424 - dots . Então, podemos substituir na expansão:
Como estamos tomando o limite quando e tendem a zero, os termos de ordem superior ( , etc.) se tornam muito pequenos e podemos ignorá-los para simplificar.

Passo 4

Substituindo a aproximação de cos(x y) - 1x approx - (x y)^22 x = -x y^22 na expressão original do limite:

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de quando e tendem a zero. Claramente, se e estão indo para zero, o produto também vai para zero.

Passo 6

Portanto, o limite é:
lim (x, y) (0,0) cos (x y)-1x = 0

Resposta

O limite é igual a .

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