Calcule os limites abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite
. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e vamos usar conceitos de cálculo de limites envolvendo séries de Taylor para resolver. Vamos precisar entender como a função cosseno se comporta perto de zero e aplicar isso para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expansão em série de Taylor da função cosseno perto de zero. Sabemos que:
Essa fórmula nos ajuda a aproximar
quando
é bem pequeno.
Passo 3
No nosso caso,
. Então, podemos substituir na expansão:
Como estamos tomando o limite quando
e
tendem a zero, os termos de ordem superior (
, etc.) se tornam muito pequenos e podemos ignorá-los para simplificar.
Passo 4
Substituindo a aproximação de
na expressão original do limite:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de
quando
e
tendem a zero. Claramente, se
e
estão indo para zero, o produto
também vai para zero.
Passo 6
Portanto, o limite é:
Resposta
O limite é igual a
.