Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto (0,0).
f(x, y) = { (x*y)/(x^2 + x*y + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função é contínua no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de continuidade em funções de duas variáveis. A gente vai precisar entender como calcular o limite da função quando se aproxima de e comparar esse limite com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:
E sabemos que .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando . A função é dada por:
Para encontrar esse limite, uma técnica eficiente é usar coordenadas polares, onde e . Isso simplifica a expressão e nos ajuda a ver como o limite se comporta quando (a distância até ) tende a zero.

Passo 4

Vamos substituir e por e na função:
Simplificando os termos:
Podemos cancelar no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, observe que o denominador pode ser simplificado:
Então:
Como é limitado (sempre entre -1/2 e 1/2), a expressão acima está sempre limitada por constantes. Mas lembre-se que estamos interessados no limite quando . Porém, após simplificação, percebemos que o limitante não depende de , apenas de . Isso sugere que o limite pode não existir ou depender de .
No entanto, vamos reavaliar o passo anterior. Percebi que houve um erro na simplificação. Na verdade, ao cancelar , a expressão correta fica:
E como não aparece mais, o limite dependeria apenas de . Para verificar a continuidade, precisamos que esse valor seja o mesmo independente de .
Vamos testar diferentes valores de :
  • Para :
  • Para :
Vemos que o limite varia dependendo do caminho escolhido. Ou seja, o limite não existe de maneira única quando .

Resposta

Como o limite de quando depende do caminho seguido e não é igual a , concluímos que a função não é contínua no ponto .

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