Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função
é contínua no ponto
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de continuidade em funções de duas variáveis. A gente vai precisar entender como calcular o limite da função quando
se aproxima de
e comparar esse limite com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:
E sabemos que
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
. A função é dada por:
Para encontrar esse limite, uma técnica eficiente é usar coordenadas polares, onde
e
. Isso simplifica a expressão e nos ajuda a ver como o limite se comporta quando
(a distância até
) tende a zero.
Passo 4
Vamos substituir
e
por
e
na função:
Simplificando os termos:
Podemos cancelar
no numerador e denominador:
Passo 5
Agora, observe que o denominador pode ser simplificado:
Então:
Como
é limitado (sempre entre -1/2 e 1/2), a expressão acima está sempre limitada por constantes. Mas lembre-se que estamos interessados no limite quando
. Porém, após simplificação, percebemos que o limitante não depende de
, apenas de
. Isso sugere que o limite pode não existir ou depender de
.
No entanto, vamos reavaliar o passo anterior. Percebi que houve um erro na simplificação. Na verdade, ao cancelar
, a expressão correta fica:
E como
não aparece mais, o limite dependeria apenas de
. Para verificar a continuidade, precisamos que esse valor seja o mesmo independente de
.
Vamos testar diferentes valores de
:
- Para
:
- Para
:
Vemos que o limite varia dependendo do caminho escolhido. Ou seja, o limite não existe de maneira única quando
.
Resposta
Como o limite de
quando
depende do caminho seguido e não é igual a
, concluímos que a função
não é contínua no ponto
.