Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto (0,0).
f(x, y) = { (x^2 - x*y) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0,0), 0 se (x, y) = (0,0) }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se a função
é contínua no ponto . Para isso, vamos explorar o conceito de limite em funções de duas variáveis e verificar se o limite de quando se aproxima de é igual a 0, que é o valor de .

Passo 2

Vamos calcular o limite de quando . Uma boa estratégia para funções de duas variáveis é usar coordenadas polares, onde e , com representando a distância até a origem e o ângulo.
Substituindo na função:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 3

Observamos que o resultado não depende de , mas sim de . Para o limite existir e ser igual a 0 (que é o valor de ), essa expressão deve ser igual a 0 para qualquer .
Vamos testar alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
Como o limite depende do valor de e não é sempre igual a 0, o limite de quando não existe de maneira consistente.

Resposta

A função não é contínua no ponto .

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