Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se a função
é contínua no ponto
. Para isso, vamos explorar o conceito de limite em funções de duas variáveis e verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a 0, que é o valor de
.
Passo 2
Vamos calcular o limite de
quando
. Uma boa estratégia para funções de duas variáveis é usar coordenadas polares, onde
e
, com
representando a distância até a origem e
o ângulo.
Substituindo na função:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Observamos que o resultado
não depende de
, mas sim de
. Para o limite existir e ser igual a 0 (que é o valor de
), essa expressão deve ser igual a 0 para qualquer
.
Vamos testar alguns valores de
:
-
Para
: -
Para
:
Como o limite depende do valor de
e não é sempre igual a 0, o limite de
quando
não existe de maneira consistente.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
.