Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Vamos calcular o limite da função
. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e técnicas de simplificação de expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de
. Substituindo
e
na expressão, temos:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, indicando que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Definimos
, onde
tende a 0 conforme
se aproxima de
. Substituindo na expressão original:
Simplificando o denominador:
A expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Percebemos que
é pequeno quando
e
tendem a 0, então podemos expandir a raiz usando a aproximação de Taylor para
quando
é pequeno:
Onde
. Aplicando isso:
Subtraindo 1:
Substituindo de volta na expressão do limite:
Cancelando termos semelhantes:
Resposta
O limite é
.
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Calcule a derivada da seguinte função
Calcule os limites abaixo:
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Nos problemas de 1-4, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Resp:
Resp:
Resp:
Resp: