Calcule os limites abaixo: lim (x, y) (0,1) raizx^2+y^2-1x^2+y^2-1

Passo 1

Vamos calcular o limite da função . Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e técnicas de simplificação de expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando raiz0^2+1^2-10^2+1^2-1 = 1 - 11 - 1 = 00 se aproxima de . Substituindo e na expressão, temos:
Isso nos dá uma forma indeterminada , indicando que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Definimos lim(x, h) (0,0) raizx^2+(1 + h)^2 -1x^2+(1 + h)^2-1 , onde x^2 + (1 + h)^2 -1 = x^2 + 1 + 2h + h^2 -1 = x^2 + 2h + h^2 tende a 0 conforme lim(x, h) (0,0) raizx^2 + (1 + h)^2 -1x^2 + 2h + h^2 se aproxima de . Substituindo na expressão original:
Simplificando o denominador:
A expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raizx^2 + (1 + h)^2 = raizx^2 + 1 + 2h + h^2 = raizx^2 + h^2 + 2h +1
Percebemos que raiz1 + epsilon approx 1 + epsilon2 é pequeno quando raizx^2 + h^2 + 2h +1 approx 1 + x^2 + h^2 + 2h2 e raizx^2 + h^2 + 2h +1 -1 approx x^2 + h^2 + 2h2 tendem a 0, então podemos expandir a raiz usando a aproximação de Taylor para lim(x, h) (0,0) x^2 + h^2 + 2h2x^2 + 2h + h^2 = lim(x, h) (0,0) x^2 + h^2 + 2h2(x^2 + 2h + h^2) quando x^2 + h^2 + 2h2(x^2 + 2h + h^2) = 12 é pequeno:
Onde . Aplicando isso:
Subtraindo 1:
Substituindo de volta na expressão do limite:
Cancelando termos semelhantes:

Resposta

O limite é .

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