Nos problemas de 1-4, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
y - x dy/dx = y ln(x/y)
Resp: x ln x + y = c x
Resp: y = x * e^(c * x)

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial pra resolver:

Vamos usar substituição, que é uma técnica da matéria de Equações Diferenciais. Pra resolver, vamos precisar manipular a equação para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir tudo por x pra simplificar:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição. Seja . Assim, . Vamos achar usando a regra do produto:

Passo 4

Substituindo y e na equação original:

Simplificando:
Como , fica:

Passo 5

Agora, separamos as variáveis:

Passo 6

Vamos integrar os dois lados. A integral de é , e a de é :

Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Vamos simplificar exponenciando ambos os lados para tirar os logaritmos:

Então, .

Passo 8

Lembrando que , temos:

Multiplicando por x:

Resposta

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