Calcule os limites abaixo: lim (x, y) (0,0) x^3+y^3x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aqui:
lim (x, y) (0,0) x^3+y^3x+y
Aqui estamos lidando com um limite de função de duas variáveis, ou seja, queremos ver o que acontece com a expressão quando tanto quanto se aproximam de 0 ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar algebra para simplificar a expressão e depois aplicar o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2). Existe uma identidade algébrica que nos ajuda a fatorar essa soma de cubos. A identidade é:

Isso significa que podemos reescrever o numerador dessa forma, o que vai simplificar a nossa expressão inteira.

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na nossa expressão original:
x^3 + y^3x + y = (x + y)(x^2 - xy + y^2)x + y
Aqui, vemos que está no numerador e no denominador, então podemos cancelar esses termos (desde que , o que é válido perto de ).

Passo 4

Após cancelar x^2 - xy + y^2, a expressão simplifica para:

Agora, nosso trabalho se resume a calcular o limite dessa nova expressão quando e tendem a 0.

Passo 5

Vamos calcular o limite termo a termo:
  • porque está indo para 0 e também vai para 0.
  • porque tanto quanto estão indo para 0, então o produto deles também vai para 0.
  • pelo mesmo motivo de .

Passo 6

Somando todos esses limites:
0 - 0 + 0 = 0
Portanto, o limite da expressão simplificada é 0.

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo: lim (x, y) (1,1) x^3-y^3x-y
Nos problemas de 1-4, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
y - x dy/dx = y ln(x/y)
Resp: x ln x + y = c x
Resp: y = x * e^(c * x)
Encontre a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto de abscissa indicada. y = x^2 - 2 x + 1 ; x = -2
Mostre que os limites abaixo não existem: lim (x, y) (0,0) x^2+yy