Calcule os limites abaixo: lim (x, y) (1,1) x^3-y^3x-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse problema envolve o conceito de limites em funções de duas variáveis e também algebra básica para simplificar expressões. Vamos precisar entender como manusear expressões algébricas e aplicar propriedades de limites para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) . Sabemos que existe uma identidade algébrica para a diferença de cubos:
No nosso caso, e . Vamos aplicar essa identidade para simplificar o numerador.

Passo 3

Aplicando a identidade:
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)
Agora, substituímos isso de volta na expressão original:
x^3 - y^3x - y = (x - y)(x^2 + xy + y^2)x - y

Passo 4

Observamos que (x - y)(x^2 + xy + y^2)x - y = x^2 + xy + y^2 está no numerador e no denominador. Desde que x^2 + xy + y^2 , podemos cancelar esse termo:
Agora, simplificamos para:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x^2 + xy + y^2 = (1)^2 + (1)(1) + (1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3 e por 1, já que :

Resposta

O limite é igual a 3.

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