Mostre que os limites abaixo não existem: lim (x, y) (0,0) x^2+yy

Passo 1

Vamos analisar o limite . Esse exercício envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre a existência de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar saber como avaliar limites ao aproximarmos de diferentes caminhos até o ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que um limite exista. Para que exista, o valor do limite deve ser o mesmo independentemente do caminho que escolhemos para chegar a .

Passo 3

Vamos testar dois caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo em ambos.

Passo 4

Caminho 1: Vamos aproximar-nos de x^2 + yy = x^2 + x^2x^2 = 2x^2x^2 = 2 ao longo da linha . Substituindo por na expressão, temos:
À medida que , o limite é 2.

Passo 5

Caminho 2: Agora, vamos aproximar-nos de x^2 + yy = x^2 - x^2-x^2 = 0-x^2 = 0 ao longo da linha . Substituindo por na expressão, temos:
Aqui, à medida que , o limite é 0.

Passo 6

Como obtivemos limites diferentes (2 e 0) ao aproximarmos de por caminhos diferentes, isso mostra que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar do ponto por caminhos distintos.

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