Mostre que os limites abaixo não existem:
Passo 1
Vamos analisar o limite
. Esse exercício envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre a existência de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar saber como avaliar limites ao aproximarmos de diferentes caminhos até o ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que um limite exista. Para que
exista, o valor do limite deve ser o mesmo independentemente do caminho que escolhemos para chegar a
.
Passo 3
Vamos testar dois caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo em ambos.
Passo 4
Caminho 1: Vamos aproximar-nos de
ao longo da linha
. Substituindo
por
na expressão, temos:
À medida que
, o limite é 2.
Passo 5
Caminho 2: Agora, vamos aproximar-nos de
ao longo da linha
. Substituindo
por
na expressão, temos:
Aqui, à medida que
, o limite é 0.
Passo 6
Como obtivemos limites diferentes (2 e 0) ao aproximarmos de
por caminhos diferentes, isso mostra que o limite
não existe.
Resposta
O limite
não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar do ponto
por caminhos distintos.
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no ponto de abscissa indicada.
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e
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. Esboce os gráficos.
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