Calcule os limites abaixo.
lim (x, y) (0,0) x y3-raizx y+9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite pra calcular aqui:
lim(x, y) to (0,0) xy3 - raizxy + 9
Esse exercício está relacionado com o conceito de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões matemáticas e simplificar para encontrar o valor quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma mudança de variável. Vamos chamar xy3 - raizxy + 9 = z3 - raizz + 9 . Assim, quando se aproxima de , também se aproxima de .
Agora, substituindo na expressão original, temos:

Passo 3

Agora, vamos focar em simplificar o denominador z3 - raizz + 9 times 3 + raizz + 93 + raizz + 9 = z(3 + raizz + 9)(3 - raizz + 9)(3 + raizz + 9) . Para isso, vamos racionalizar esse denominador, ou seja, eliminar a raiz quadrada do denominador.
Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador, que é :

Passo 4

Agora, vamos resolver o denominador usando a identidade (3 - raizz + 9)(3 + raizz + 9) = 3^2 - (raizz + 9)^2 = 9 - (z + 9) = -z :
z(3 + raizz + 9)-z = - (3 + raizz + 9)
Então, nossa expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o limite quando limz to 0 - (3 + raizz + 9) = - (3 + raiz0 + 9) = - (3 + 3) = -6 se aproxima de :

Resposta

O limite é .

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