Pra os itens a seguir considere a função f(x, y) = raiz(y^2 - x^2 + 1).
Justifique que a imagem de f é [0,+infinito) subset R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função . O que precisamos mostrar é que os valores que essa função pode assumir (a imagem) são todos os números reais não negativos, ou seja, . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções e propriedades das raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada: . Para que a função esteja bem definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais.

Passo 3

Então, temos a condição:
Isso garante que seja um número real não negativo. Agora, vamos pensar nos valores que pode assumir.

Passo 4

A função é uma raiz quadrada, então ela sempre será maior ou igual a zero:
Isso nos mostra que a imagem da função, de fato, não inclui números negativos.

Passo 5

Para mostrar que todo número não negativo está na imagem de , ou seja, para qualquer , existe algum par tal que , vamos resolver a equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Para que essa equação tenha solução, precisamos que , ou seja:
Se escolhermos , por exemplo, teremos:
Então, para , podemos escolher e , garantindo que:
Ajustando e , podemos sempre encontrar valores que atendam para qualquer .

Resposta

A imagem da função é .

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