Pra os itens a seguir considere a função
.
Justifique que a imagem de
é
.
Justifique que a imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
. O que precisamos mostrar é que os valores que essa função pode assumir (a imagem) são todos os números reais não negativos, ou seja,
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções e propriedades das raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
. Para que a função
esteja bem definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais.
Passo 3
Então, temos a condição:
Isso garante que
seja um número real não negativo. Agora, vamos pensar nos valores que
pode assumir.
Passo 4
A função
é uma raiz quadrada, então ela sempre será maior ou igual a zero:
Isso nos mostra que a imagem da função, de fato, não inclui números negativos.
Passo 5
Para mostrar que todo número não negativo está na imagem de
, ou seja, para qualquer
, existe algum par
tal que
, vamos resolver a equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Para que essa equação tenha solução, precisamos que
, ou seja:
Se escolhermos
, por exemplo, teremos:
Então, para
, podemos escolher
e
, garantindo que:
Ajustando
e
, podemos sempre encontrar valores que atendam
para qualquer
.
Resposta
A imagem da função
é
.
Exercícios relacionados
Encontre o comprimento da hélice circular
,
do ponto
e
. Solução: sqrt(2)
Esboce o domínio da função
em cada um dos casos a seguir.
.
Encontre o vetor tangente à circunferência de raio 2, centrada na origem. Obtenha no ponto (sqrt(2), sqrt(2))
Calcule os limites abaixo.
.