Encontre o vetor tangente à circunferência de raio 2, centrada na origem. Obtenha no ponto (sqrt(2), sqrt(2))
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente à circunferência de raio 2, que está centrada na origem do sistema de coordenadas. O ponto específico onde vamos achar esse vetor é
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, como a parametrização de curvas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como parametrizar uma circunferência. Uma circunferência de raio
centrada na origem pode ser descrita pelas equações paramétricas:
No nosso caso, o raio
é 2, então ficamos com:
Aqui,
é o ângulo que o raio faz com o eixo
.
Passo 3
Para encontrar o vetor tangente à circunferência em um ponto específico, vamos derivar as equações paramétricas em relação a
. Isso nos dará as componentes do vetor tangente:
Então, o vetor tangente
é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de
que corresponde ao ponto dado
. Vamos usar as equações paramétricas:
Sabemos que
ocorre quando
ou
radianos.
Passo 5
Com
, substituímos na expressão do vetor tangente:
Sabendo que
, temos:
Resposta
O vetor tangente à circunferência no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Pra os itens a seguir considere a função
.
Justifique que a imagem de é
.
Justifique que a imagem de
Encontre o comprimento da hélice circular
,
do ponto
e
. Solução: sqrt(2)
Calcule os limites abaixo.
.
Desenhe as superfícies paramétricas