Encontre o vetor tangente à circunferência de raio 2, centrada na origem. Obtenha no ponto (sqrt(2), sqrt(2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente à circunferência de raio 2, que está centrada na origem do sistema de coordenadas. O ponto específico onde vamos achar esse vetor é . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, como a parametrização de curvas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como parametrizar uma circunferência. Uma circunferência de raio centrada na origem pode ser descrita pelas equações paramétricas:
No nosso caso, o raio é 2, então ficamos com:
Aqui, é o ângulo que o raio faz com o eixo .

Passo 3

Para encontrar o vetor tangente à circunferência em um ponto específico, vamos derivar as equações paramétricas em relação a . Isso nos dará as componentes do vetor tangente:
Então, o vetor tangente é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto dado . Vamos usar as equações paramétricas:
Sabemos que ocorre quando ou radianos.

Passo 5

Com , substituímos na expressão do vetor tangente:
Sabendo que , temos:

Resposta

O vetor tangente à circunferência no ponto é .

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