Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem: lim substackx 0 y 0 x^2raizx^2+y^2

Passo 1

Vamos analisar o limite . Esse problema envolve o conceito de limites em várias variáveis. Para resolver, precisamos entender como a função se comporta quando se aproxima do ponto . Vamos precisar usar conceitos de distância no plano cartesiano e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise. Observe que:
x^2raizx^2+y^2 = x^2raizx^2+y^2
Podemos notar que o denominador representa a distância do ponto até a origem , que denotaremos por , onde .

Passo 3

Vamos então expressar a função em termos de x^2r = x^2raizx^2+y^2 :
(r cos(theta))^2r = r^2 cos^2(theta)r = r cos^2(theta)
Sabemos que, em coordenadas polares, , então substituindo temos:

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de limr to 0 r cos^2(theta) = 0 quando . Como est�� sempre entre 0 e 1, multiplicar por que tende a 0 fará com que toda a expressão se aproxime de 0.
Matematicamente:

Passo 5

Para confirmar que o limite é realmente 0, podemos verificar ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de . Por exemplo:
  • Caminho : A função vira , e .
  • Caminho : A função vira , e .
Como o limite é 0 independentemente do caminho escolhido, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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