Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem:

Passo 1

Vamos analisar o limite . Esse problema envolve o conceito de limites em várias variáveis. Para resolver, precisamos entender como a função se comporta quando se aproxima do ponto . Vamos precisar usar conceitos de distância no plano cartesiano e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise. Observe que:
Podemos notar que o denominador representa a distância do ponto até a origem , que denotaremos por , onde .

Passo 3

Vamos então expressar a função em termos de :
Sabemos que, em coordenadas polares, , então substituindo temos:

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de quando . Como est�� sempre entre 0 e 1, multiplicar por que tende a 0 fará com que toda a expressão se aproxime de 0.
Matematicamente:

Passo 5

Para confirmar que o limite é realmente 0, podemos verificar ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de . Por exemplo:
  • Caminho : A função vira , e .
  • Caminho : A função vira , e .
Como o limite é 0 independentemente do caminho escolhido, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de radianos para o quadrante e formule o seguinte:
(b) Equação de uma reta passando por formando um ângulo com o eixo das abscissas.
Determine o valor de para que a função
seja contínua na origem.
Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de radianos para o quadrante e formule o seguinte:
© O produto interno euclidiano para um par de vetores e .
A função é contínua em ? Justifique.