Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem:
Passo 1
Vamos analisar o limite
. Esse problema envolve o conceito de limites em várias variáveis. Para resolver, precisamos entender como a função se comporta quando
se aproxima do ponto
. Vamos precisar usar conceitos de distância no plano cartesiano e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise. Observe que:
Podemos notar que o denominador
representa a distância do ponto
até a origem
, que denotaremos por
, onde
.
Passo 3
Vamos então expressar a função em termos de
:
Sabemos que, em coordenadas polares,
, então substituindo temos:
Passo 4
Agora, analisamos o comportamento de
quando
. Como
est�� sempre entre 0 e 1, multiplicar por
que tende a 0 fará com que toda a expressão se aproxime de 0.
Matematicamente:
Passo 5
Para confirmar que o limite é realmente 0, podemos verificar ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de
. Por exemplo:
- Caminho
: A função vira , e . - Caminho
: A função vira , e .
Como o limite é 0 independentemente do caminho escolhido, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de
radianos para o
quadrante e formule o seguinte:
(b) Equação de uma reta passando por formando um ângulo
com o eixo das abscissas.
(b) Equação de uma reta passando por
Determine o valor de
para que a função
seja contínua na origem.
Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de
radianos para o
quadrante e formule o seguinte:
© O produto interno euclidiano para um par de vetores e
.
© O produto interno euclidiano para um par de vetores
A função
é contínua em
? Justifique.