Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de radianos para o quadrante e formule o seguinte:
(c) O produto interno euclidiano para um par de vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de coordenadas cartesiano oblíquo, que é diferente do sistema cartesiano comum porque os eixos não são perpendiculares. O ângulo entre eles é um ângulo agudo de radianos no primeiro quadrante. O exercício pede para a gente formular o produto interno euclidiano para dois vetores e . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto interno em um sistema oblíquo, usando trigonometria básica para levar em conta o ângulo .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno euclidiano. No sistema cartesiano padrão (com ângulo de entre os eixos), o produto interno de dois vetores e é dado por:
Mas como nossos eixos não são perpendiculares e têm um ângulo de , precisamos ajustar essa fórmula para levar em conta esse ângulo.
Passo 3
Em um sistema oblíquo, o produto interno não pode simplesmente somar os produtos das componentes, porque o ângulo entre os eixos afeta a relação entre os vetores. Para levar em conta o ângulo , usamos a seguinte fórmula modificada para o produto interno:
Aqui, o termo ajusta o produto das segundas componentes dos vetores pelo cosseno do ângulo entre os eixos, refletindo a obliquidade do sistema.
Passo 4
Vamos detalhar por que usamos o cosseno do ângulo . Em trigonometria, o cosseno de um ângulo em um triângulo retângulo representa a razão entre o comprimento do lado adjacente ao ângulo e a hipotenusa. No contexto do produto interno, ajusta a contribuição das componentes dos vetores de acordo com o ângulo entre os eixos, garantindo que o produto interno reflita corretamente a geometria do sistema oblíquo.
Passo 5
Então, juntando tudo, o produto interno euclidiano para dois vetores e em um sistema de coordenadas oblíquo com ângulo é:
Resposta
O produto interno euclidiano para os vetores e em um sistema de coordenadas oblíquo com ângulo é:
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Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem:
Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de radianos para o quadrante e formule o seguinte:
(b) Equação de uma reta passando por formando um ângulo com o eixo das abscissas.
A função é contínua em ? Justifique.
A função é contínua em ? Justifique.