Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de
radianos para o
quadrante e formule o seguinte:
© O produto interno euclidiano para um par de vetores
e
.
© O produto interno euclidiano para um par de vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de coordenadas cartesiano oblíquo, que é diferente do sistema cartesiano comum porque os eixos não são perpendiculares. O ângulo entre eles é um ângulo agudo de
radianos no primeiro quadrante. O exercício pede para a gente formular o produto interno euclidiano para dois vetores
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto interno em um sistema oblíquo, usando trigonometria básica para levar em conta o ângulo
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno euclidiano. No sistema cartesiano padrão (com ângulo de
entre os eixos), o produto interno de dois vetores
e
é dado por:
Mas como nossos eixos não são perpendiculares e têm um ângulo de
, precisamos ajustar essa fórmula para levar em conta esse ângulo.
Passo 3
Em um sistema oblíquo, o produto interno não pode simplesmente somar os produtos das componentes, porque o ângulo entre os eixos afeta a relação entre os vetores. Para levar em conta o ângulo
, usamos a seguinte fórmula modificada para o produto interno:
Aqui, o termo
ajusta o produto das segundas componentes dos vetores pelo cosseno do ângulo entre os eixos, refletindo a obliquidade do sistema.
Passo 4
Vamos detalhar por que usamos o cosseno do ângulo
. Em trigonometria, o cosseno de um ângulo em um triângulo retângulo representa a razão entre o comprimento do lado adjacente ao ângulo e a hipotenusa. No contexto do produto interno,
ajusta a contribuição das componentes dos vetores de acordo com o ângulo entre os eixos, garantindo que o produto interno reflita corretamente a geometria do sistema oblíquo.
Passo 5
Então, juntando tudo, o produto interno euclidiano para dois vetores
e
em um sistema de coordenadas oblíquo com ângulo
é:
Resposta
O produto interno euclidiano para os vetores
e
em um sistema de coordenadas oblíquo com ângulo
é: