Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de
radianos para o
quadrante e formule o seguinte:
(b) Equação de uma reta passando por
formando um ângulo
com o eixo das abscissas.
(b) Equação de uma reta passando por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de coordenadas cartesianas oblíquo, ou seja, os eixos não são perpendiculares, e o ângulo entre eles é
radianos no primeiro quadrante. Precisamos encontrar a equação de uma reta que passa por um ponto específico
e forma um ângulo
com o eixo das abscissas (o eixo x).
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre geometria analítica em sistemas oblíquos e como as inclinações das retas são tratadas nesse tipo de sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como definimos a inclinação de uma reta em um sistema de coordenadas normais (onde os eixos são perpendiculares). A inclinação é dada pela tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x, ou seja,
, onde
é o coeficiente angular.
No entanto, como nosso sistema é oblíquo, os eixos não são perpendiculares, e isso afeta como calculamos a inclinação da reta. Nesse caso, o ângulo entre os eixos é
, que é agudo.
Passo 3
Em um sistema oblíquo, a relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas reais é alterada devido ao ângulo
. Para relacionar as coordenadas no sistema oblíquo
com as coordenadas no sistema ortogonal, usamos o seguinte:
- A distância ao longo do eixo x é multiplicada por
para ajustar a projeção no eixo real. - A distância ao longo do eixo y permanece a mesma, já que estamos considerando o primeiro quadrante.
Isso significa que a inclinação real da reta será afetada pelo ângulo
do sistema oblíquo.
Passo 4
Agora, vamos relacionar o ângulo
que a reta forma com o eixo das abscissas no sistema oblíquo ao coeficiente angular da reta nesse sistema.
A inclinação
da reta no sistema oblíquo será dada por:
Isso porque a projeção da inclinação no sistema ortogonal precisa ser ajustada pelo ângulo entre os eixos para refletir corretamente a inclinação no sistema oblíquo.
Passo 5
Com o coeficiente angular
determinado, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação, que é:
Substituindo nosso
na equação, temos:
Essa é a equação da reta no sistema de coordenadas oblíquo que passa pelo ponto
e forma um ângulo
com o eixo das abscissas.
Resposta
A equação da reta é dada por:
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Determine o valor de
para que a função
seja contínua na origem.
Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de
radianos para o
quadrante e formule o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos, e
.
(a) A distância entre dois pontos,
Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem:
Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de
radianos para o
quadrante e formule o seguinte:
© O produto interno euclidiano para um par de vetores e
.
© O produto interno euclidiano para um par de vetores