Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de radianos para o quadrante e formule o seguinte:
(b) Equação de uma reta passando por formando um ângulo com o eixo das abscissas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de coordenadas cartesianas oblíquo, ou seja, os eixos não são perpendiculares, e o ângulo entre eles é radianos no primeiro quadrante. Precisamos encontrar a equação de uma reta que passa por um ponto específico e forma um ângulo com o eixo das abscissas (o eixo x).
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre geometria analítica em sistemas oblíquos e como as inclinações das retas são tratadas nesse tipo de sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como definimos a inclinação de uma reta em um sistema de coordenadas normais (onde os eixos são perpendiculares). A inclinação é dada pela tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x, ou seja, , onde é o coeficiente angular.
No entanto, como nosso sistema é oblíquo, os eixos não são perpendiculares, e isso afeta como calculamos a inclinação da reta. Nesse caso, o ângulo entre os eixos é , que é agudo.

Passo 3

Em um sistema oblíquo, a relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas reais é alterada devido ao ângulo . Para relacionar as coordenadas no sistema oblíquo com as coordenadas no sistema ortogonal, usamos o seguinte:
  • A distância ao longo do eixo x é multiplicada por para ajustar a projeção no eixo real.
  • A distância ao longo do eixo y permanece a mesma, já que estamos considerando o primeiro quadrante.
Isso significa que a inclinação real da reta será afetada pelo ângulo do sistema oblíquo.

Passo 4

Agora, vamos relacionar o ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas no sistema oblíquo ao coeficiente angular da reta nesse sistema.
A inclinação da reta no sistema oblíquo será dada por:
Isso porque a projeção da inclinação no sistema ortogonal precisa ser ajustada pelo ângulo entre os eixos para refletir corretamente a inclinação no sistema oblíquo.

Passo 5

Com o coeficiente angular determinado, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação, que é:
Substituindo nosso na equação, temos:
Essa é a equação da reta no sistema de coordenadas oblíquo que passa pelo ponto e forma um ângulo com o eixo das abscissas.

Resposta

A equação da reta é dada por:

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seja contínua na origem.
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Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem:
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© O produto interno euclidiano para um par de vetores e .