Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta se a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar conhecimentos de continuidade de funções de duas variáveis. Precisamos verificar se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se três condições forem satisfeitas:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
Esse limite é igual a .
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em .
Passo 3
Vamos analisar a função dada:
Sabemos que , então a primeira condição de continuidade está atendida.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável: deixe . Assim, quando , temos . A expressão do limite fica:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento dessa expressão. Observe que tanto no numerador quanto no denominador temos termos com potências de e . Para entender o limite, vamos tentar encontrar um limite superior para o valor absoluto da função.
Mas isso não é muito útil diretamente. Outra abordagem é considerar que, para próximos de , os termos de maior grau no denominador dominarão. Portanto, tanto quanto crescem mais rápido que os termos do numerador .
Passo 6
Para formalizar, podemos usar a desigualdade:
Agora, se tende a zero mais rápido que , o limite vai a zero. De qualquer forma, independentemente do caminho que tomarmos para , o valor da função tende a zero.
Resposta
Sim, a função é contínua em , pois o limite quando se aproxima de é igual a .