A função f(x, y)=lllx^3(y-5)^22 x^7+3(y-5)^4, & se (x, y) neq(0,5) 0, & se (x, y)=(0,5) é contínua em (0,5) ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta se a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar conhecimentos de continuidade de funções de duas variáveis. Precisamos verificar se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. Esse limite é igual a .
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em .

Passo 3

Vamos analisar a função dada:
f(x, y) = x^3(y-5)^22 x^7+3(y-5)^4, & se (x, y) neq(0,5) 0, & se (x, y)=(0,5)
Sabemos que , então a primeira condição de continuidade está atendida.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de lim(x, y) to (0,5) x^3(y-5)^22 x^7+3(y-5)^4 quando lim(x, t) to (0,0) x^3 t^22 x^7 + 3 t^4 se aproxima de :
Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável: deixe . Assim, quando , temos . A expressão do limite fica:

Passo 5

Vamos analisar o comportamento dessa expressão. Observe que tanto no numerador quanto no denominador temos termos com potências de | x^3 t^22 x^7 + 3 t^4 | <= |x|^3 |t|^22 |x|^7 = |t|^22 |x|^4 e . Para entender o limite, vamos tentar encontrar um limite superior para o valor absoluto da função.
Mas isso não é muito útil diretamente. Outra abordagem é considerar que, para próximos de , os termos de maior grau no denominador dominarão. Portanto, tanto quanto crescem mais rápido que os termos do numerador .

Passo 6

Para formalizar, podemos usar a desigualdade:
|f(x, y)| = | x^3 t^22 x^7 + 3 t^4 | <= |x|^3 |t|^23 t^4 = |x|^33 |t|^2
Agora, se tende a zero mais rápido que , o limite vai a zero. De qualquer forma, independentemente do caminho que tomarmos para , o valor da função tende a zero.

Resposta

Sim, a função é contínua em , pois o limite quando se aproxima de é igual a .

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