Determine o valor de para que a função
seja contínua na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que muda de definição dependendo se estamos ou não na origem . O exercício pede para descobrir o valor de que faz essa função ser contínua na origem. Isso envolve entender sobre continuidade de funções de duas variáveis e calcular um limite.

Passo 2

Para a função ser contínua na origem, o limite de quando se aproxima de precisa ser igual a . Então, vamos calcular esse limite:

Passo 3

Uma forma eficiente de calcular limites em duas variáveis é usar coordenadas polares, onde e . Substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, observamos que e são funções limitadas (sempre entre -1 e 1). Então, conforme tende a 0, todo o termo também tende a 0:

Resposta

Para que a função seja contínua na origem, o valor de deve ser 0.

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Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de radianos para o quadrante e formule o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos, e .
Determinar todas as curvas planas de curvatura constante.
Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de radianos para o quadrante e formule o seguinte:
(b) Equação de uma reta passando por formando um ângulo com o eixo das abscissas.
Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem: