Determine o valor de k para que a função
f(x, y)=lll 3 x^2 yx^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) k & se & (x, y)=(0,0)
seja contínua na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que muda de definição dependendo se estamos ou não na origem . O exercício pede para descobrir o valor de que faz essa função ser contínua na origem. Isso envolve entender sobre continuidade de funções de duas variáveis e calcular um limite.

Passo 2

Para a função ser contínua na origem, o limite de lim(x,y) to (0,0) 3x^2 yx^2+y^2 quando se aproxima de precisa ser igual a . Então, vamos calcular esse limite:

Passo 3

Uma forma eficiente de calcular limites em duas variáveis é usar coordenadas polares, onde 3x^2 yx^2+y^2 = 3(rcostheta)^2 cdot rsinthetar^2cos^2theta + r^2sin^2theta = 3r^3cos^2theta sinthetar^2(cos^2theta + sin^2theta) = 3r^3cos^2theta sinthetar^2 = 3rcos^2theta sintheta e . Substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, observamos que limr to 0 3rcos^2theta sintheta = 0 e são funções limitadas (sempre entre -1 e 1). Então, conforme tende a 0, todo o termo também tende a 0:

Resposta

Para que a função seja contínua na origem, o valor de deve ser 0.

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