Determine o valor de
para que a função
seja contínua na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
que muda de definição dependendo se estamos ou não na origem
. O exercício pede para descobrir o valor de
que faz essa função ser contínua na origem. Isso envolve entender sobre continuidade de funções de duas variáveis e calcular um limite.
Passo 2
Para a função ser contínua na origem, o limite de
quando
se aproxima de
precisa ser igual a
. Então, vamos calcular esse limite:
Passo 3
Uma forma eficiente de calcular limites em duas variáveis é usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na expressão:
Passo 4
Agora, observamos que
e
são funções limitadas (sempre entre -1 e 1). Então, conforme
tende a 0, todo o termo
também tende a 0:
Resposta
Para que a função seja contínua na origem, o valor de
deve ser 0.
Exercícios relacionados
Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de
radianos para o
quadrante e formule o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos, e
.
(a) A distância entre dois pontos,
Determinar todas as curvas planas de curvatura constante.
Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de
radianos para o
quadrante e formule o seguinte:
(b) Equação de uma reta passando por formando um ângulo
com o eixo das abscissas.
(b) Equação de uma reta passando por
Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem: