Calcule os limites abaixo.
n) lim x +infty ln (x^2-1x-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para calcular: lim x +infty ln (x^2-1x-1). Aqui, estamos lidando com o conceito de limites na matemática, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função quando a variável se aproxima de um certo valor, no caso, quando vai para mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de limites e funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo: x^2-1x-1. Observa que o numerador é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada. Sabemos que .

Passo 3

Substituindo a fatoração na expressão original, temos:
x^2-1x-1 = (x - 1)(x + 1)x - 1
Aqui, o no numerador e no denominador se cancelam (desde que ), restando apenas .

Passo 4

Agora, a expressão do limite fica mais simples:
lim x +infty ln(x + 1)
Sabemos que, conforme cresce sem limite (vai para mais infinito), também cresce sem limite. O logaritmo natural de um número que vai para mais infinito também vai para mais infinito. Portanto, o limite do logaritmo será infinito.

Resposta

lim x +infty ln (x^2-1x-1) = +infty

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