Prove que
existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite quando
tende a mais infinito de
existe. Isso está relacionado ao cálculo de integrais impróprias e ao estudo de limites no cálculo. Para resolver, vamos analisar se essa integral converge quando
cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral é chamada imprópria quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função tem alguma descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o intervalo de integração vai de
a
, e queremos que
cresça até o infinito. Então, estamos lidando com uma integral imprópria do tipo infinito.
Passo 3
Para verificar se essa integral converge, ou seja, se ela tem um limite finito quando
tende ao infinito, podemos usar o Teste de Convergência de Dirichlet. Esse teste é útil para integrais onde o integrando é um produto de duas funções: uma que tem variação limitada e outra que tem derivada decrescente a zero.
Passo 4
No nosso caso, podemos decompor
em
e
:
-
é uma função que oscila entre -1 e 1, então sua variação é limitada. -
é uma função que decresce à medida que aumenta e tende a zero quando vai para o infinito.
Essas são exatamente as condições necessárias para aplicar o Teste de Dirichlet.
Passo 5
Aplicando o Teste de Dirichlet, concluímos que a integral
converge, ou seja, o limite existe. Na verdade, sabe-se que esse limite é igual a
, mas para provar apenas a existência, já é suficiente mostrar que a integral converge.
Resposta
O limite
existe e é igual a
.