Prove que lim b +infty integral0^b sin xx d x existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite quando tende a mais infinito de existe. Isso está relacionado ao cálculo de integrais impróprias e ao estudo de limites no cálculo. Para resolver, vamos analisar se essa integral converge quando cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral é chamada imprópria quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função tem alguma descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o intervalo de integração vai de a , e queremos que cresça até o infinito. Então, estamos lidando com uma integral imprópria do tipo infinito.

Passo 3

Para verificar se essa integral converge, ou seja, se ela tem um limite finito quando tende ao infinito, podemos usar o Teste de Convergência de Dirichlet. Esse teste é útil para integrais onde o integrando é um produto de duas funções: uma que tem variação limitada e outra que tem derivada decrescente a zero.

Passo 4

No nosso caso, podemos decompor em e :
  • é uma função que oscila entre -1 e 1, então sua variação é limitada.
  • é uma função que decresce à medida que aumenta e tende a zero quando vai para o infinito.
Essas são exatamente as condições necessárias para aplicar o Teste de Dirichlet.

Passo 5

Aplicando o Teste de Dirichlet, concluímos que a integral converge, ou seja, o limite existe. Na verdade, sabe-se que esse limite é igual a , mas para provar apenas a existência, já é suficiente mostrar que a integral converge.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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