Calcule os limites abaixo, se possível.
(a) lim x 1(x^2-1)(sen(1x-1)+3 cos (1x-1))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando lim x 1(x^2-1)(sen(1x-1)+3 cos (1x-1)) se aproxima de 1 da expressão:
Estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento das funções seno e cosseno quando o argumento tende a infinito.

Passo 2

Vamos começar simplificando a parte polinomial da expressão x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Podemos fatorar essa expressão:
(x - 1)(x + 1)(sen(1x-1) + 3 cos (1x-1))
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja h (h + 2) (sen(1h) + 3 cos (1h)) . Assim, quando se aproxima de 1, se aproxima de 0. Substituindo na expressão:
Note que .

Passo 4

Agora, observamos que as funções e -1 <= sen(1h) <= 1 são funções oscilatórias que variam entre -1 e 1 para todo valor de -1 <= cos(1h) <= 1 . Ou seja:
-4 <= sen(1h) + 3 cos(1h) <= 4
Portanto, a combinação linear dessas funções também estará limitada:

Passo 5

Agora, multiplicamos essa expressão limitada por . Sabemos que está se aproximando de 0, então está se aproximando de 2. Assim, o produto está se aproximando de .
Como estamos multiplicando uma quantidade que se aproxima de 0 por algo que está limitado, o limite total será 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo, se possível.
(b) lim x -infty x^4-xx^3-1
Encontre uma restrição g para cada função dada de modo que essa restrição admita uma inversa h = g^(-1). Em cada caso, especifique o domínio e o contra domínio da inversa e, também, sua lei de formação, nos casos seguintes:
(d) f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 6
Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(a) f(x) = cos(x) / (x - pi)
Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(b) g(x) = raiz(x + 1) / (x - 2)