Calcule os limites abaixo, se possível.
(a)
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 1 da expressão:
Estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento das funções seno e cosseno quando o argumento tende a infinito.
Passo 2
Vamos começar simplificando a parte polinomial da expressão
. Podemos fatorar essa expressão:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja
. Assim, quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 0. Substituindo na expressão:
Note que
.
Passo 4
Agora, observamos que as funções e
são funções oscilatórias que variam entre -1 e 1 para todo valor de
. Ou seja:
Portanto, a combinação linear dessas funções também estará limitada:
Passo 5
Agora, multiplicamos essa expressão limitada por
. Sabemos que
está se aproximando de 0, então
está se aproximando de 2. Assim, o produto
está se aproximando de
.
Como estamos multiplicando uma quantidade que se aproxima de 0 por algo que está limitado, o limite total será 0.
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo, se possível.
(b)
(b)
Encontre uma restrição
para cada função dada de modo que essa restrição admita uma inversa
. Em cada caso, especifique o domínio e o contra domínio da inversa e, também, sua lei de formação, nos casos seguintes:
(d)
(d)
Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(a)
(a)
Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(b)
(b)