Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(b)
(b)
Passo 1
Vamos analisar a função
. Nosso objetivo é determinar o domínio dessa função e encontrar suas assíntotas verticais e horizontais. Para isso, precisamos entender onde a função está definida e como ela se comporta perto de certos valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Passo 3
Na função
, temos uma raiz quadrada no numerador:
. Para a raiz quadrada ser definida, a expressão dentro dela deve ser maior ou igual a zero:
Resolvendo essa inequação:
Passo 4
Além disso, no denominador temos
. O denominador não pode ser zero porque divisão por zero é indefinida. Então:
Resolvendo:
Passo 5
Juntando as duas condições, o domínio da função
é todos os valores de
que são maiores ou iguais a -1, exceto
. Em notação de intervalo:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador se aproxima de zero, mas o numerador não se aproxima de zero ao mesmo tempo. Neste caso, analisamos o comportamento da função quando
se aproxima de 2.
Vamos calcular os limites laterais:
e
Passo 7
Calculando o limite à esquerda (
):
Quando
se aproxima de 2 pela esquerda,
se aproxima de zero por valores negativos, e
se aproxima de
. Portanto:
Passo 8
Calculando o limite à direita (
):
Quando
se aproxima de 2 pela direita,
se aproxima de zero por valores positivos, e
se aproxima de
. Portanto:
Passo 9
Como os limites laterais são diferentes e tendem para
e
, isso indica que há uma assíntota vertical em
.
Passo 10
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Essa descreve o comportamento da função quando
tende a
ou
.
Vamos calcular:
Passo 11
Para facilitar o cálculo, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Simplificando:
Resposta
O domínio da função
é
. Ela possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.
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Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(a)
(a)
Calcule os limites abaixo, se possível.
(a)
(a)
Se
tem derivadas parciais de
ordem continuas e satisfaz a equação de Laplace
, ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas:
Considere
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função