Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(b) g(x) = raiz(x + 1) / (x - 2)

Passo 1

Vamos analisar a função . Nosso objetivo é determinar o domínio dessa função e encontrar suas assíntotas verticais e horizontais. Para isso, precisamos entender onde a função está definida e como ela se comporta perto de certos valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

Na função , temos uma raiz quadrada no numerador: . Para a raiz quadrada ser definida, a expressão dentro dela deve ser maior ou igual a zero:
Resolvendo essa inequação:

Passo 4

Além disso, no denominador temos . O denominador não pode ser zero porque divisão por zero é indefinida. Então:
Resolvendo:

Passo 5

Juntando as duas condições, o domínio da função é todos os valores de que são maiores ou iguais a -1, exceto . Em notação de intervalo:
í

Passo 6

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador se aproxima de zero, mas o numerador não se aproxima de zero ao mesmo tempo. Neste caso, analisamos o comportamento da função quando se aproxima de 2.
Vamos calcular os limites laterais:
e

Passo 7

Calculando o limite à esquerda ( ):
Quando se aproxima de 2 pela esquerda, se aproxima de zero por valores negativos, e se aproxima de . Portanto:

Passo 8

Calculando o limite à direita ( ):
Quando se aproxima de 2 pela direita, se aproxima de zero por valores positivos, e se aproxima de . Portanto:

Passo 9

Como os limites laterais são diferentes e tendem para e , isso indica que há uma assíntota vertical em .

Passo 10

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Essa descreve o comportamento da função quando tende a ou .
Vamos calcular:

Passo 11

Para facilitar o cálculo, podemos dividir o numerador e o denominador por :
Simplificando:

Resposta

O domínio da função é . Ela possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

Exercícios relacionados

Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(a) f(x) = cos(x) / (x - pi)
Calcule os limites abaixo, se possível.
(a) lim x 1(x^2-1)(sen(1x-1)+3 cos (1x-1))
Se z=f(x, y) tem derivadas parciais de 2^a ordem continuas e satisfaz a equação de Laplace partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0, ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas:
z=x^2+2 x y
Considere f(x) = raiz(sen(x) + cos(3x) + 1).
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto (0, raiz(2)).