Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(a)
(a)
Passo 1
Então, você me pediu para descrever o domínio e encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
. Vamos usar conceitos de funções racionais, limites e comportamento assintótico para resolver isso.
Passo 2
Dominio da função: O domínio é o conjunto de todos os valores de
onde a função está definida. A função
tem um denominador
. A divisão por zero não é permitida, então precisamos encontrar onde o denominador é igual a zero:
Portanto, a função não está definida quando
. Assim, o domínio de
é todos os números reais exceto
:
Passo 3
Assíntotas Verticais: As assíntotas verticais ocorrem onde a função tende a
, geralmente onde o denominador é zero. Já identificamos que
faz o denominador zero, então vamos verificar os limites laterais para ver se existe uma assíntota vertical.
Calculando os limites:
Sabemos que
. Perto de
:
- Quando
se aproxima de pela esquerda ( ), é negativo e pequeno, então tende a . - Quando
se aproxima de pela direita ( ), é positivo e pequeno, então tende a .
Portanto, existe uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Assíntotas Horizontais: Para encontrar as assíntotas horizontais, analisamos o comportamento de
quando
tende a
e
.
Sabemos que
está sempre entre -1 e 1, mesmo quando
fica muito grande ou muito pequeno. Já o denominador
tende a
. Então, a fração
tende a zero.
Assim, existe uma assíntota horizontal em
.
Resposta
- Domínio:
- Assíntota Vertical:
- Assíntota Horizontal:
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Calcule os limites abaixo, se possível.
(a)
(a)
Calcule os limites abaixo, se possível.
(b)
(b)
Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(b)
(b)
Se
tem derivadas parciais de
ordem continuas e satisfaz a equação de Laplace
, ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas: