Calcule os limites abaixo. pt.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de por valores menores que ( ). Vamos precisar usar conceitos de limites, valor absoluto e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Começando com , quando se aproxima de , se aproxima de 0. Como estamos lidando com o valor absoluto, também se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o termo . Para entender o comportamento dessa função, precisamos ver o que acontece com o argumento do seno quando se aproxima de .

Passo 4

Calculando o denominador , substituímos por valores próximos a . Por exemplo, se :
À medida que se aproxima de por valores menores, se aproxima de 0 a partir de valores positivos, fazendo com que tenda ao infinito.

Passo 5

Sabemos que a função seno, , oscila entre e para qualquer valor de . Mesmo que esteja tendendo ao infinito, continuará a oscilar dentro desse intervalo.

Passo 6

Agora, multiplicamos , que está se aproximando de 0, por , que está oscilando entre e . Portanto, o produto de um número que tende a 0 por outro que está limitado permanece tendendo a 0.

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
d)
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
i)
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
i)
Considere a função . Determine a assíntota vertical de a partir do estudo dos limites laterais e esboce o gráfico da função usando as assíntotas como guias.