Calcule os limites abaixo.
pt.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de
por valores menores que
(
). Vamos precisar usar conceitos de limites, valor absoluto e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Começando com
, quando
se aproxima de
,
se aproxima de 0. Como estamos lidando com o valor absoluto,
também se aproxima de 0.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o termo
. Para entender o comportamento dessa função, precisamos ver o que acontece com o argumento do seno quando
se aproxima de
.
Passo 4
Calculando o denominador
, substituímos
por valores próximos a
. Por exemplo, se
:
À medida que
se aproxima de
por valores menores,
se aproxima de 0 a partir de valores positivos, fazendo com que
tenda ao infinito.
Passo 5
Sabemos que a função seno,
, oscila entre
e
para qualquer valor de
. Mesmo que
esteja tendendo ao infinito,
continuará a oscilar dentro desse intervalo.
Passo 6
Agora, multiplicamos
, que está se aproximando de 0, por
, que está oscilando entre
e
. Portanto, o produto de um número que tende a 0 por outro que está limitado permanece tendendo a 0.
Resposta
O limite é igual a
.