Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
i)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar se a série converge, e se possível, encontrar a soma dela. Essa é uma questão de convergência de séries, e vamos usar alguns testes de convergência para resolver. Vamos precisar entender sobre séries alternadas, convergência absoluta e condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa olhar para a série sem o termo alternado . Então, temos a série:

Passo 3

Agora, para ver se essa série converge, vamos comparar com uma série bem conhecida. Observando a expressão , para grande, , então:
A série é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge.

Passo 4

Como a série se comporta como a série harmônica e diverge, concluímos que a série original não converge absolutamente.

Passo 5

Mas, ainda temos a parte alternada . Vamos verificar se a série converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série alternada converge.
  • Positivos: Claro, é positivo para .
  • Decrescentes: Vamos ver se . Calculando:
Para , , ou seja, os termos estão realmente decrescendo.
  • Tendência a zero:
Então, todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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quando e .
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d)
Calcule os limites abaixo. pt.)