Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
i)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar se a série converge, e se possível, encontrar a soma dela. Essa é uma questão de convergência de séries, e vamos usar alguns testes de convergência para resolver. Vamos precisar entender sobre séries alternadas, convergência absoluta e condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa olhar para a série sem o termo alternado . Então, temos a série:
Passo 3
Agora, para ver se essa série converge, vamos comparar com uma série bem conhecida. Observando a expressão n^3n^4-1 approx n^3n^4 = 1n , para grande, , então:
A série é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge.
Passo 4
Como a série se comporta como a série harmônica e diverge, concluímos que a série original não converge absolutamente.
Passo 5
Mas, ainda temos a parte alternada bn = n^3n^4-1 e bn+1 = (n+1)^3(n+1)^4-1 . Vamos verificar se a série converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos limn to infty n^3n^4-1 = limn to infty n^3n^4 = limn to infty 1n = 0 são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série alternada converge.
Positivos: Claro, é positivo para .
Decrescentes: Vamos ver se . Calculando:
Para , , ou seja, os termos estão realmente decrescendo.
Tendência a zero:
Então, todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas.