Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
d) sumk=1^infty (-1)^k3^k raizk x^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada:
sumk=1^infty (-1)^k3^k raizk x^k
Aqui estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo tem uma potência de . Para encontrar o raio e o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se a limitação do valor absoluto do quociente entre termos consecutivos for menor que 1, a série converge. Ou seja, calculamos:
L = limk to infty | ak+1ak |
No nosso caso, ak+1ak = (-1)^k+13^k+1 raizk+1 x^k+1 cdot 3^k raizk(-1)^k x^k = -13 cdot raizkraizk+1 cdot x , então:
| ak+1ak | = 13 cdot raizkraizk+1 cdot |x|
Como estamos interessados no valor absoluto:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite L = limk to infty 13 cdot raizkraizk+1 cdot |x| = 13 cdot limk to infty raizkraizk+1 cdot |x| :
limk to infty raizkraizk+1 = limk to infty raizkk+1 = raiz1 = 1
Note que:
Então, fica:
L = 13 cdot |x|
Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que 13 |x| < 1 Rightarrow |x| < 3 :
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 4

Agora que sabemos o raio de convergência, o próximo passo é determinar o intervalo de convergência, que são os valores de sumk=1^infty (-1)^k3^k raizk cdot 3^k = sumk=1^infty (-1)^kraizk para os quais a série realmente converge, incluindo as bordas sumk=1^infty (-1)^k3^k raizk cdot (-3)^k = sumk=1^infty (-1)^k cdot (-1)^k cdot 3^k3^k raizk = sumk=1^infty 1raizk e .
Vamos testar :
Essa é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero, a série converge. Aqui, é decrescente e , então a série converge para .
Agora, testamos :
Essa é a série p com , que sabemos que não converge porque .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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