Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada:
Aqui estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo tem uma potência de . Para encontrar o raio e o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se a limitação do valor absoluto do quociente entre termos consecutivos for menor que 1, a série converge. Ou seja, calculamos:
No nosso caso, , então:
Como estamos interessados no valor absoluto:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite :
Note que:
Então, fica:
Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que :
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 4

Agora que sabemos o raio de convergência, o próximo passo é determinar o intervalo de convergência, que são os valores de para os quais a série realmente converge, incluindo as bordas e .
Vamos testar :
Essa é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero, a série converge. Aqui, é decrescente e , então a série converge para .
Agora, testamos :
Essa é a série p com , que sabemos que não converge porque .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
i)
Seja a função dada por . Encontre:
Calcule os limites abaixo. pt.)
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
i)