Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
i) sumk=1^infty k^18(3 k)^k x^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumk=1^infty k^18(3 k)^k x^k
Matéria envolvida: Séries de potências, especificamente encontrando o raio e intervalo de convergência usando testes de convergência.
O que vamos precisar: Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência e, depois, determinar o intervalo onde a série realmente converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar o raio de convergência de séries de potências. Esse teste envolve calcular o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
onde é o termo geral da série.
Se , a série converge; se , a série diverge. O ponto onde nos ajuda a encontrar o raio de convergência .

Passo 3

Vamos identificar o termo geral ak = k^18(3k)^k x^k da nossa série:
ak+1ak = (k+1)^18(3(k+1))^k+1 x^k+1 cdot (3k)^kk^18 x^k
Agora, vamos calcular ak+1ak = ( k+1k )^18 cdot (3k)^k(3(k+1))^k+1 cdot x :
Simplificando:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais a expressão:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite L = limk to infty | ak+1ak | = limk to infty (1 + 1k)^18 cdot 13 cdot ( kk+1 )^k cdot 1k+1 cdot |x| quando L = 1 cdot 13 cdot 1e cdot 0 cdot |x| = 0 :
Sabemos que:
Então:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, se , a série converge. No nosso caso, para qualquer valor de , o que significa que a série converge para todos os valores de .

Resposta

O raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é .

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