Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Matéria envolvida: Séries de potências, especificamente encontrando o raio e intervalo de convergência usando testes de convergência.
O que vamos precisar: Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência e, depois, determinar o intervalo onde a série realmente converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar o raio de convergência de séries de potências. Esse teste envolve calcular o limite:
onde é o termo geral da série.
Se , a série converge; se , a série diverge. O ponto onde nos ajuda a encontrar o raio de convergência .
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da nossa série:
Agora, vamos calcular :
Simplificando:
Passo 4
Vamos simplificar ainda mais a expressão:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando :
Sabemos que:
Então:
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão, se , a série converge. No nosso caso, para qualquer valor de , o que significa que a série converge para todos os valores de .
Resposta
O raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é .