Calcule os limites abaixo, usando a mudança de variável sugerida:
a) lim x 1 raizx^2+3-2x^2-1, pondo u=raizx^2+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de 1. Estamos lidando com o tópico de limites em Cálculo, e a dica é usar a mudança de variável sugerida: . Para resolver, vamos seguir passo a passo e entender cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a substituição sugerida. Se u = raizx^2 + 3 implies u^2 = x^2 + 3 implies x^2 = u^2 - 3 , queremos reescrever o limite em termos de raizx^2+3-2x^2-1 = u - 2(u^2 - 3) - 1 = u - 2u^2 - 4 . Vamos expressar em função de :
Agora, substituímos na expressão original:

Passo 3

Observamos que o denominador u^2 - 4 = (u - 2)(u + 2) pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:
u - 2(u - 2)(u + 2) = 1u + 2 (desde que u neq 2)
Então, substituindo de volta na fração:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o que acontece com u = raiz1^2 + 3 = raiz4 = 2 quando se aproxima de 1. Lembrando que , substituímos :
Então, quando , .

Passo 5

Substituímos limu to 2 1u + 2 = 12 + 2 = 14 na expressão simplificada do limite:

Resposta

O limite é .

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