Prove pela definição que as seguintes funções são contínuas nos pontos especificados:
a)
em
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar, usando a definição, que a função
é contínua no ponto
. Isso envolve entender o que é continuidade e como usar a definição formal dela para chegar à conclusão. A matéria aqui é Cálculo, mais especificamente o conceito de continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar da definição de continuidade e calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função
é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso à nossa função
no ponto
.
Passo 3
Primeiro, verificamos se
está definida. Calculando:
Então,
está definida e vale 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1:
Sabemos que as funções polinomiais são contínuas em todo lugar, mas vamos calcular para ficar claro:
Então, o limite existe e vale 1.
Passo 5
Finalmente, comparamos o limite com
:
Como as três condições de continuidade são satisfeitas, podemos concluir que a função
é contínua no ponto
.
Resposta
Portanto,
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Seja
: Esboce o gráfico de
Seja
a função maior inteiro. Para quais valores de
existe
?
Calcule os limites abaixo, usando a mudança de variável sugerida:
a) , pondo
a)
Calcule os seguintes Limites: