Calcule os seguintes limites: lim x 3 raizx^2+7-4x^2-5 x+6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função quando limx 3 raizx^2+7 - 4x^2 - 5x + 6 se aproxima de 3. A função é:
Vamos usar conhecimentos de limites, especialmente quando lidamos com raízes e frações que podem dar uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz3^2+7 - 43^2 - 5 cdot 3 + 6 = raiz9+7 - 49 - 15 + 6 = raiz16 - 40 = 4 - 40 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão usando a técnica de racionalização. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raizx^2+7 - 4x^2 - 5x + 6 times raizx^2+7 + 4raizx^2+7 + 4 é .
Então, multiplicamos:

Passo 4

Multiplicando os numeradores e denominadores:
(raizx^2+7 - 4)(raizx^2+7 + 4)(x^2 - 5x + 6)(raizx^2+7 + 4)
No numerador, aplicamos a identidade (raizx^2+7)^2 - 4^2 = (x^2 + 7) - 16 = x^2 - 9 :
x^2 - 9(x^2 - 5x + 6)(raizx^2+7 + 4)
Então, temos:

Passo 5

Agora, observe que (x - 3)(x + 3)(x - 2)(x - 3)(raizx^2+7 + 4) pode ser fatorado como x + 3(x - 2)(raizx^2+7 + 4) e pode ser fatorado como . Substituímos:
Podemos cancelar o termo que aparece no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, substituímos 3 + 3(3 - 2)(raiz3^2+7 + 4) = 61 cdot (raiz16 + 4) = 61 cdot (4 + 4) = 68 na expressão simplificada:
68 = 34
Simplificando a fração:

Resposta

O limite é .

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