Calcule os limites abaixo usando as propriedades de limite (não é necessário especificar qual a propriedade): lim x infty raizx^2+4 x+1-x

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Esse tipo de problema faz parte do estudo de limites em cálculo, e para resolvê-lo, vamos usar algumas propriedades básicas dos limites e manipulações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Temos:
raizx^2 + 4x + 1 - x
Para simplificar essa expressão, uma técnica útil é racionalizar o numerador. Isso significa que vamos multiplicar e dividir a expressão por seu conjugado. O conjugado de ( raizx^2 + 4x + 1 - x ) times raizx^2 + 4x + 1 + xraizx^2 + 4x + 1 + x é . Então, fazemos:

Passo 3

Ao multiplicar o numerador pelos seus conjugados, usamos a identidade (raizx^2 + 4x + 1)^2 - x^2raizx^2 + 4x + 1 + x . Aplicando isso, temos:
x^2 + 4x + 1 - x^2 = 4x + 1
Simplificando o numerador:
4x + 1raizx^2 + 4x + 1 + x
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador raizx^2 (1 + 4x + 1x^2) = x raiz1 + 4x + 1x^2 . Para simplificar isso, vamos fatorar raiz1 + 4x + 1x^2 approx 1 + 2x dentro da raiz:
raizx^2 + 4x + 1 approx x (1 + 2x) = x + 2
Quando tende ao infinito, os termos e tendem a zero, então:
Portanto:

Passo 5

Substituindo essa aproximação de volta no denominador:
raizx^2 + 4x + 1 + x approx (x + 2) + x = 2x + 2
Agora, nossa expressão original simplificada fica:
4x + 12x + 2

Passo 6

Para calcular o limite dessa fração quando 4 + 1x2 + 2x tende ao infinito, observamos os coeficientes dos termos de maior grau no numerador e no denominador. Então, dividimos todos os termos por 42 = 2 :
Como tende ao infinito, os termos e tendem a zero. Assim, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é igual a .

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