Se o limite for uma forma indeterminada, calcule-o usando a regra de La) (vale 1,5 ponto) lim x 1 ln xsen(pi cdot x)

Passo 1

Então, temos o limite . Esse problema está ligado ao conteúdo de limites envolvendo funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente temos uma forma indeterminada ao substituir ln(1) = 0 e sin(pi cdot 1) = sin(pi) = 0 :
Então, temos , que é uma forma indeterminada. Isso nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que, se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de :
  • Derivada de : (usando a regra da cadeia)

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
limx 1 ln xsin(pi x) = limx 1 1xpi cos(pi x) = 11 cdot pi cos(pi cdot 1)

Passo 6

Calculando cos(pi) = -1 :
1pi cdot (-1) = -1pi
Então:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados