Se o limite for uma forma indeterminada, calcule-o usando a regra de La) (vale 1,5 ponto)

Passo 1

Então, temos o limite . Esse problema está ligado ao conteúdo de limites envolvendo funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente temos uma forma indeterminada ao substituir :
Então, temos , que é uma forma indeterminada. Isso nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que, se resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de :
  • Derivada de : (usando a regra da cadeia)

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:

Passo 6

Calculando :
Então:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
j)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
e)
Calcule os limites laterais indicados.
Calcule .
Calcule os limites abaixo usando as propriedades de limite (não é necessário especificar qual a propriedade):