Calcule os limites abaixo, usando a regra de L(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem o limite:
Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, especificamente usando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa regra quando temos formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma do limite. Ao substituir
:
Então, temos uma forma indeterminada
. Para aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos transformar essa expressão em uma fração que resulte em
ou
.
Passo 3
Vamos reescrever o limite como uma fração:
Agora, quando
:
-
-
(dependendo de como se aproxima de , pode ser ou , mas o importante é que o módulo tende a infinito)
Portanto, temos a forma indeterminada
, que é adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que:
desde que o limite da direita exista.
Neste caso:
-
→ -
→
Então, o limite se transforma em:
Passo 5
Agora, vamos analisar o novo limite:
Aqui, temos:
-
quando (porque ) -
Portanto, novamente enfrentamos uma forma indeterminada de
. Para resolver, vamos reescrever essa expressão como uma fração:
Passo 6
Agora, temos uma fração com a forma
, que nos permite aplicar novamente a Regra de L’Hôpital.
Calculamos as derivadas:
- Numerador:
- Denominador:
Então, o limite se torna:
Passo 7
Analisando novamente o limite:
Substituindo
:
Então, temos novamente
. Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 8
Calculamos as derivadas novamente:
- Numerador:
- Denominador:
Simplificando:
Substituindo
:
Então:
Passo 9
Lembre-se que no Passo 6 tivemos um fator negativo:
Portanto, o limite final é:
Resposta
O limite é igual a
.
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