Calcule os limites abaixo, usando a regra de L(f) lim x pi / 2(x-pi / 2) times tg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem o limite:
limx pi2 (x - pi2) times tan(x)
Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, especificamente usando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa regra quando temos formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma do limite. Ao substituir :
Então, temos uma forma indeterminada . Para aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos transformar essa expressão em uma fração que resulte em ou .

Passo 3

Vamos reescrever o limite como uma fração:
limx pi2 tan(x)1x - pi2
Agora, quando :
  • (dependendo de como se aproxima de , pode ser ou , mas o importante é que o módulo tende a infinito)
Portanto, temos a forma indeterminada , que é adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que:
limx a f(x)g(x) = limx a f'(x)g'(x)
desde que o limite da direita exista.
Neste caso:
  • limx pi2 sec^2(x)-1(x - pi2)^2 = -sec^2(x) times (x - pi2)^2
Então, o limite se transforma em:

Passo 5

Agora, vamos analisar o novo limite:
limx pi2 -sec^2(x) times (x - pi2)^2
Aqui, temos:
  • limx pi2 (x - pi2)^2cos^2(x) quando (porque )
Portanto, novamente enfrentamos uma forma indeterminada de . Para resolver, vamos reescrever essa expressão como uma fração:

Passo 6

Agora, temos uma fração com a forma limx pi2 2(x - pi2)-2sin(x)cos(x) = limx pi2 (x - pi2)-sin(x)cos(x), que nos permite aplicar novamente a Regra de L’Hôpital.
Calculamos as derivadas:
  • Numerador:
  • Denominador:
Então, o limite se torna:

Passo 7

Analisando novamente o limite:
limx pi2 (x - pi2)-sin(x)cos(x)
Substituindo :
Então, temos novamente . Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 8

Calculamos as derivadas novamente:
  • Numerador: limx pi2 1-(cos^2(x) - sin^2(x))
  • Denominador: 1- (0 - 1) = 11 = 1
Simplificando:
Substituindo :
Então:

Passo 9

Lembre-se que no Passo 6 tivemos um fator negativo:
limx pi2 (x - pi2)-sin(x)cos(x) = -1
Portanto, o limite final é:
-1

Resposta

O limite é igual a .

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