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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de
até
da função
em relação a
. Isso está relacionado ao estudo de integrais impróprias, onde os limites de integração são infinitos ou a função tem descontinuidades dentro do intervalo. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar o comportamento da função nos limites e verificar se a integral converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, observamos que estamos lidando com uma integral imprópria devido ao limite superior infinito. Isso significa que precisamos verificar o comportamento da função quando
tende ao infinito e também próximo aos pontos onde a função pode não estar bem definida, como onde o denominador se anula.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função
:
-
Quando
se aproxima de 3: O denominador tende a zero, já que . Isso indica uma possível descontinuidade ou ponto crítico na integral. -
Quando
tende a : O termo domina, então se torna muito negativo. A raiz cúbica de um número negativo também é negativa, mas O importante aqui é o comportamento de crescimento da função.
Passo 4
Para verificar a convergência da integral, precisamos analisar o comportamento da função nos limites críticos:
-
Próximo a
: Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar a análise. Seja, onde quando . A função se comporta como:A integral próxima ase aproxima de: A antiderivada deé proporcional a , que tende a zero quando , indicando que não há problema de convergência nesse ponto. -
Quando
: A função se comporta como:Assim, a integral se comporta como:A antiderivada deé proporcional a , que tende ao infinito quando .
Passo 5
Como a função se comporta como
quando
tende ao infinito, e a integral dessa função diverge, concluímos que a integral original também diverge. Ou seja, ela não possui um valor finito.
Resposta
A integral
não converge, ou seja, ela diverge para o infinito.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo, usando a regra de L(f)
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Use as integrais de linha do item (a) para encontrar o centróide da parte da região circular centrada na origem e raio
contida no primeiro quadrante do plano
.