;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de até da função em relação a . Isso está relacionado ao estudo de integrais impróprias, onde os limites de integração são infinitos ou a função tem descontinuidades dentro do intervalo. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar o comportamento da função nos limites e verificar se a integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, observamos que estamos lidando com uma integral imprópria devido ao limite superior infinito. Isso significa que precisamos verificar o comportamento da função quando tende ao infinito e também próximo aos pontos onde a função pode não estar bem definida, como onde o denominador se anula.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função :
  • Quando se aproxima de 3: O denominador tende a zero, já que . Isso indica uma possível descontinuidade ou ponto crítico na integral.
  • Quando tende a : O termo domina, então se torna muito negativo. A raiz cúbica de um número negativo também é negativa, mas O importante aqui é o comportamento de crescimento da função.

Passo 4

Para verificar a convergência da integral, precisamos analisar o comportamento da função nos limites críticos:
  • Próximo a :
    Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar a análise. Seja , onde quando .
    A função se comporta como:
    A integral próxima a se aproxima de:
    A antiderivada de é proporcional a , que tende a zero quando , indicando que não há problema de convergência nesse ponto.
  • Quando :
    A função se comporta como:
    Assim, a integral se comporta como:
    A antiderivada de é proporcional a , que tende ao infinito quando .

Passo 5

Como a função se comporta como quando tende ao infinito, e a integral dessa função diverge, concluímos que a integral original também diverge. Ou seja, ela não possui um valor finito.

Resposta

A integral não converge, ou seja, ela diverge para o infinito.

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo, usando a regra de L(f)
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Use as integrais de linha do item (a) para encontrar o centróide da parte da região circular centrada na origem e raio contida no primeiro quadrante do plano .