integral d xx raiz4+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente substituição, para simplificar e resolver essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
t = raiz4 + x^2
Essa substituição nos ajudará a transformar a integral em algo mais manejável. Agora, precisamos encontrar a derivada de dtdx = xraiz4 + x^2 em relação a dx = raiz4 + x^2x dt = tx dt para substituir :
Então, isolando :

Passo 3

Agora, vamos substituir integral 1x raiz4 + x^2 dx = integral 1x cdot t cdot tx dt = integral 1x^2 dt e x^2 = t^2 - 4 na integral original:
integral 1t^2 - 4 dt
Perceba que , então podemos resolver para :
Substituindo na integral:

Passo 4

Essa nova integral é uma expressão racional que podemos integrar usando fra��ões parciais. A integral de integral 1t^2 - 4 dt = 14 ln | t - 2t + 2 | + C é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos substituir 14 ln | raiz4 + x^2 - 2raiz4 + x^2 + 2 | + C de volta para termos de . Lembrando que :

Resposta

A integral de 14 ln | raiz4 + x^2 - 2raiz4 + x^2 + 2 | + C em relação a é:

Exercícios relacionados