Calcule os limites abaixo, usando a regra de L(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0, usando a Regra de L’Hôpital. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, especialmente quando temos formas indeterminadas como
. Para resolver, vamos precisar derivar o numerador e o denominador até conseguir um limite que possamos calcular diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar a aplicação da Regra de L’Hôpital. Sabemos que
, então:
Para combinar as frações, encontramos um denominador comum:
Então, o limite fica:
Passo 3
Ao substituir
, tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, resultando em uma forma indeterminada
. Isso nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se
resulta em
ou
, então:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
-
Numerador:
-
Denominador:
Usando a regra do produto:
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 5
Vamos analisar esse novo limite. Se substituirmos
:
- Numerador:
- Denominador:
Ainda temos uma forma
, então aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital.
Passo 6
Calculamos novamente as derivadas.
-
Numerador:
-
Denominador:
Aplicando a Regra de L’Hôpital novamente:
Passo 7
Agora, substituindo
:
- Numerador:
- Denominador:
Então, o limite fica:
Resposta
O limite é
.
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