Calcule os limites abaixo, usando a regra de L(g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0, usando a Regra de L’Hôpital. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, especialmente quando temos formas indeterminadas como . Para resolver, vamos precisar derivar o numerador e o denominador até conseguir um limite que possamos calcular diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar a aplicação da Regra de L’Hôpital. Sabemos que , então:
Para combinar as frações, encontramos um denominador comum:
Então, o limite fica:

Passo 3

Ao substituir , tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, resultando em uma forma indeterminada . Isso nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se resulta em ou , então:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
  • Numerador:
  • Denominador:
    Usando a regra do produto:
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:

Passo 5

Vamos analisar esse novo limite. Se substituirmos :
  • Numerador:
  • Denominador:
Ainda temos uma forma , então aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital.

Passo 6

Calculamos novamente as derivadas.
  • Numerador:
  • Denominador:
Aplicando a Regra de L’Hôpital novamente:

Passo 7

Agora, substituindo :
  • Numerador:
  • Denominador:
Então, o limite fica:

Resposta

O limite é .

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