Calcule os limites abaixo, usando a regra de L(e) lim x 0+ 1x-1raizx

Passo 1

Temos que calcular o limite . Vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica para encontrar limites que resultam em formas indeterminadas como ou . Para aplicar essa regra, precisamos reescrever a expressão de forma que se ajuste a uma dessas formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão 1x - 1raizx = raizx - xx cdot raizx = raizx - xx^3/2 como uma única fração. Para isso, encontramos um denominador comum:
limx to 0^+ raizx - xx^3/2
Agora, nosso limite fica:

Passo 3

Observamos que, quando se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada , onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Segundo a regra, derivamos o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
Derivada do numerador ddx (raizx - x) = 12 x^-1/2 - 1 :
ddx (x^3/2) = 32 x^1/2
Derivada do denominador :

Passo 5

Aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
limx to 0^+ 12 x^-1/2 - 132 x^1/2 = limx to 0^+ 12 cdot 1raizx - 132 raizx

Passo 6

Simplificamos a expressão:
12raizx - 132 raizx = 1 - 2raizx3x
Agora, avaliamos o limite novamente:
limx to 0^+ 1 - 2raizx3x

Passo 7

Neste ponto, ao substituir , obtemos , que tende a . Portanto, o limite é infinito.

Resposta

O limite é igual a .

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