Calcule os limites abaixo, usando a regra de L(e)
Passo 1
Temos que calcular o limite
. Vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica para encontrar limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
. Para aplicar essa regra, precisamos reescrever a expressão de forma que se ajuste a uma dessas formas indeterminadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
como uma única fração. Para isso, encontramos um denominador comum:
Agora, nosso limite fica:
Passo 3
Observamos que, quando
se aproxima de 0, tanto o numerador
quanto o denominador
se aproximam de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada
, onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Segundo a regra, derivamos o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Calculamos as derivadas:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 5
Aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Agora, avaliamos o limite novamente:
Passo 7
Neste ponto, ao substituir
, obtemos
, que tende a
. Portanto, o limite é infinito.
Resposta
O limite
é igual a
.
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.
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