Calcule os limites abaixo, usando a regra de L(e)

Passo 1

Temos que calcular o limite . Vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica para encontrar limites que resultam em formas indeterminadas como ou . Para aplicar essa regra, precisamos reescrever a expressão de forma que se ajuste a uma dessas formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão como uma única fração. Para isso, encontramos um denominador comum:
Agora, nosso limite fica:

Passo 3

Observamos que, quando se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada , onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Segundo a regra, derivamos o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 5

Aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:

Passo 6

Simplificamos a expressão:
Agora, avaliamos o limite novamente:

Passo 7

Neste ponto, ao substituir , obtemos , que tende a . Portanto, o limite é infinito.

Resposta

O limite é igual a .

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