Encontre por derivação implícita, onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , a partir da equação . Vamos usar a derivação implícita, que é útil quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, ao derivar termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia porque é uma função de .
Então, temos:

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado esquerdo, . Usamos a regra da cadeia aqui:
Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a regra do quociente:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito da equação, :

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas que calculamos:
Nosso objetivo é isolar . Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:

Passo 7

Distribuindo o no lado direito:

Passo 8

Vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro lado:
Fatorando no lado esquerdo:

Passo 9

Agora, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando :
Podemos simplificar um pouco mais multiplicando o numerador e o denominador por -1:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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