Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de L(f) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente utilizando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender como transformar expressões que envolvem potências e logaritmos para facilitar a aplicação da regra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite de uma forma que facilite a aplicação da regra de L’Hôpital. Quando temos uma expressão do tipo , podemos usar logaritmos para transformar a potência em um produto. Assim, consideramos:
Isso significa que se encontrarmos o limite do lado direito, podemos depois aplicar a exponenciação para obter o resultado final.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite . Sabemos que, quando se aproxima de 0, . Então, podemos aproximar por :

Passo 4

Agora, precisamos calcular . Observamos que, conforme se aproxima de 0, tende a 0 e tende a . Temos uma indeterminação do tipo . Para resolver isso, reescrevemos a expressão:
Agora, é uma forma de , onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:

Resposta

Portanto, o limite .

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Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de Ln)
Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de Li)
Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de Lj)
Verifique se as funções são contínuas nos pontos indicados:
em .