Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de L(f) lim x 0^+(sen x)^x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente utilizando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender como transformar expressões que envolvem potências e logaritmos para facilitar a aplicação da regra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite de uma forma que facilite a aplicação da regra de L’Hôpital. Quando temos uma expressão do tipo ln(lim x 0^+(sen x)^x^2) = lim x 0^+ x^2 cdot ln(sen x) , podemos usar logaritmos para transformar a potência em um produto. Assim, consideramos:
Isso significa que se encontrarmos o limite do lado direito, podemos depois aplicar a exponenciação para obter o resultado final.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite . Sabemos que, quando lim x 0^+ x^2 cdot ln(sen x) approx lim x 0^+ x^2 cdot ln x se aproxima de 0, . Então, podemos aproximar por :

Passo 4

Agora, precisamos calcular lim x 0^+ ln x1x^2 . Observamos que, conforme se aproxima de 0, tende a 0 e tende a . Temos uma indeterminação do tipo . Para resolver isso, reescrevemos a expressão:
Agora, é uma forma de , onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
lim x 0^+ ddx(ln x)ddx(1x^2) = lim x 0^+ 1x-2x^3 = lim x 0^+ -x^22 = 0

Resposta

Portanto, o limite .

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