Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de L(f)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente utilizando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender como transformar expressões que envolvem potências e logaritmos para facilitar a aplicação da regra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite de uma forma que facilite a aplicação da regra de L’Hôpital. Quando temos uma expressão do tipo
, podemos usar logaritmos para transformar a potência em um produto. Assim, consideramos:
Isso significa que se encontrarmos o limite do lado direito, podemos depois aplicar a exponenciação para obter o resultado final.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite . Sabemos que, quando
se aproxima de 0, . Então, podemos aproximar por
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
. Observamos que, conforme
se aproxima de 0,
tende a 0 e
tende a
. Temos uma indeterminação do tipo
. Para resolver isso, reescrevemos a expressão:
Agora, é uma forma de
, onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
Resposta
Portanto, o limite .
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Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de Li)
Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de Lj)
Verifique se as funções são contínuas nos pontos indicados:
em
.