Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de Li) lim x +infty 3^4 x2 x

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x +infty 3^4 x2 x. Aqui, estamos lidando com limites e vamos utilizar a Regra de L’Hôpital. Para isso, precisamos identificar se temos uma indeterminação do tipo inftyinfty ou 00, e então calcular as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando x tende a +infty:
  • Numerador: 3^4x cresce muito rápido porque é uma função exponencial. Conforme x aumenta, 3^4x tende a +infty.
  • Denominador: 2x também cresce, mas de forma linear, ou seja, muito mais lenta comparada à função exponencial. Quando x tende a +infty, 2x também tende a +infty.
Como ambos o numerador e o denominador tendem a +infty, temos uma indeterminação do tipo inftyinfty. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite da forma inftyinfty ou 00, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador. Ou seja:
lim x +infty 3^4x2x = lim x +infty ddx(3^4x) g/ ddx(2x)
Vamos calcular essas derivadas:
  • Derivada do numerador: A derivada de 3^4x em relação a x é 3^4x cdot ln(3) cdot 4. Isso porque, para uma função exponencial do tipo a^bx, a derivada é a^bx cdot ln(a) cdot b.
    ddx(3^4x) = 4 ln(3) cdot 3^4x
  • Derivada do denominador: A derivada de 2x em relação a x é simplesmente 2.
    ddx(2x) = 2

Passo 4

Substituindo as derivadas no limite, temos:
lim x +infty 4 ln(3) cdot 3^4x2 = lim x +infty 2 ln(3) cdot 3^4x
Agora, observamos que 3^4x, sendo uma função exponencial com base maior que 1, cresce sem limites à medida que x tende a +infty. Multiplicando por uma constante ( 2 ln(3)) não altera esse comportamento; portanto, o limite tende a +infty.

Resposta

O limite é +infty.

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