Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de Li)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites e vamos utilizar a Regra de L’Hôpital. Para isso, precisamos identificar se temos uma indeterminação do tipo ou , e então calcular as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando tende a :
  • Numerador: cresce muito rápido porque é uma função exponencial. Conforme aumenta, tende a .
  • Denominador: também cresce, mas de forma linear, ou seja, muito mais lenta comparada à função exponencial. Quando tende a , também tende a .
Como ambos o numerador e o denominador tendem a , temos uma indeterminação do tipo . Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite da forma ou , podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador. Ou seja:
Vamos calcular essas derivadas:
  • Derivada do numerador: A derivada de em relação a é . Isso porque, para uma função exponencial do tipo , a derivada é .
  • Derivada do denominador: A derivada de em relação a é simplesmente .

Passo 4

Substituindo as derivadas no limite, temos:
Agora, observamos que , sendo uma função exponencial com base maior que 1, cresce sem limites à medida que tende a . Multiplicando por uma constante ( ) não altera esse comportamento; portanto, o limite tende a .

Resposta

O limite é .

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