Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de Li)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com limites e vamos utilizar a Regra de L’Hôpital. Para isso, precisamos identificar se temos uma indeterminação do tipo
ou
, e então calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando
tende a
:
- Numerador:
cresce muito rápido porque é uma função exponencial. Conforme aumenta, tende a . - Denominador:
também cresce, mas de forma linear, ou seja, muito mais lenta comparada à função exponencial. Quando tende a , também tende a .
Como ambos o numerador e o denominador tendem a
, temos uma indeterminação do tipo
. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite da forma
ou
, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador. Ou seja:
Vamos calcular essas derivadas:
-
Derivada do numerador: A derivada de
em relação a é . Isso porque, para uma função exponencial do tipo , a derivada é . -
Derivada do denominador: A derivada de
em relação a é simplesmente .
Passo 4
Substituindo as derivadas no limite, temos:
Agora, observamos que
, sendo uma função exponencial com base maior que 1, cresce sem limites à medida que
tende a
. Multiplicando por uma constante (
) não altera esse comportamento; portanto, o limite tende a
.
Resposta
O limite é
.
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.