Calcule as seguintes integrais duplas: (h) integral e integralD y+2 x(y-2 x)^2 d x d y onde D é a região limitada pelas curvas y-2 x=2, y+2 x=2, y-2 x=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que calcular a integral dupla:
integrale integralD y + 2x(y - 2x)^2 , dx , dy
Aqui, a região é limitada pelas curvas , e . Vamos usar o cálculo de integrais duplas para resolver isso.

Passo 2

Observando o integrando u = y - 2x v = y + 2x , percebemos que há uma relação direta entre e . Isso sugere que uma mudança de variável pode simplificar a integral. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos expressar u = y - 2x v = y + 2x e u + v = 2y Rightarrow y = u + v2 em termos de v - u = 4x Rightarrow x = v - u4 e . Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Passo 4

Com J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = -14 & 14 12 & 12 = (-14 times 12) - (14 times 12) = -18 - 18 = -14 e |J| = 14 em termos de e , precisamos calcular o determinante Jacobiano para a mudança de variável. O Jacobiano é dado por:
Tomamos o valor absoluto do Jacobiano:

Passo 5

Agora, substituímos as variáveis na integral original. A integral passa a ser:
integral integral vu^2 times 14 , du , dv
Simplificando:
14 integral integral vu^2 , du , dv

Passo 6

Precisamos determinar os novos limites de integração para y - 2x = 1 Rightarrow u = 1 y - 2x = 2 Rightarrow u = 2 y + 2x = 2 Rightarrow v = 2 e com base nas curvas que delimitam :
Portanto, varia de 1 a 2 e varia de a 2. Observando as interseções, percebemos que para cada fixo, também é fixo em 2. Então, a região é um retângulo no novo sistema de coordenadas.

Passo 7

Com os limites estabelecidos, a integral fica:
14 integralu=1^2 integralv=-infty^2 vu^2 , dv , du
No entanto, percebemos que a região é limitada e não vai ao infinito. Como e as restrições fornecem , na verdade, para cada de 1 a 2, varia de uma linha a outra, mas dado que todas as curvas limitam a 2, a integral simplifica-se considerando apenas essa constante.

Passo 8

Com a simplificação, a integral fica:
14 integral1^2 2u^2 , du = 12 integral1^2 1u^2 , du

Passo 9

Calculamos a integral em relação a 12 [ -1u ]1^2 = 12 ( -12 + 1 ) = 12 ( 12 ) = 14 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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