Calcule as seguintes integrais duplas: (h) onde é a região limitada pelas curvas
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que calcular a integral dupla:
Aqui, a região é limitada pelas curvas , e . Vamos usar o cálculo de integrais duplas para resolver isso.
Passo 2
Observando o integrando , percebemos que há uma relação direta entre e . Isso sugere que uma mudança de variável pode simplificar a integral. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Passo 4
Com e em termos de e , precisamos calcular o determinante Jacobiano para a mudança de variável. O Jacobiano é dado por:
Tomamos o valor absoluto do Jacobiano:
Passo 5
Agora, substituímos as variáveis na integral original. A integral passa a ser:
integral integral vu^2 times 14 , du , dv
Simplificando:
14 integral integral vu^2 , du , dv
Passo 6
Precisamos determinar os novos limites de integração para y - 2x = 1 Rightarrow u = 1 y - 2x = 2 Rightarrow u = 2 y + 2x = 2 Rightarrow v = 2 e com base nas curvas que delimitam :
Portanto, varia de 1 a 2 e varia de a 2. Observando as interseções, percebemos que para cada fixo, também é fixo em 2. Então, a região é um retângulo no novo sistema de coordenadas.
Passo 7
Com os limites estabelecidos, a integral fica:
14 integralu=1^2 integralv=-infty^2 vu^2 , dv , du
No entanto, percebemos que a região é limitada e não vai ao infinito. Como e as restrições fornecem , na verdade, para cada de 1 a 2, varia de uma linha a outra, mas dado que todas as curvas limitam a 2, a integral simplifica-se considerando apenas essa constante.
Passo 8
Com a simplificação, a integral fica:
14 integral1^2 2u^2 , du = 12 integral1^2 1u^2 , du
Passo 9
Calculamos a integral em relação a 12 [ -1u ]1^2 = 12 ( -12 + 1 ) = 12 ( 12 ) = 14 :