Determine
d) O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo oy, da região hachurada do item ©
d) O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo oy, da região hachurada do item ©
Passo 1
Então, você quer encontrar o volume do sólido que é formado ao girar a região hachurada do item © em torno do eixo
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o método dos discos ou cascas cilíndricas para volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar saber quais funções delimitam a região hachurada e como elas se comportam em relação ao eixo
.
Passo 2
Primeiro, identifique as funções que delimitam a região hachurada. Vamos supor que a região está entre duas curvas
e
no intervalo de
até
.
Passo 3
Como estamos girando em torno do eixo
, o método mais adequado é o das cascas cilíndricas. A fórmula para o volume
usando esse método é:
Onde:
-
é a distância da casca ao eixo de rotação ( ). -
é a altura da casca, ou seja, a diferença entre as funções e .
Passo 4
Substitua
pelas funções que delimitam a região. Se
for a função externa e
a interna, então:
Passo 5
Agora, substitua
na fórmula do volume:
Passo 6
Calcule a integral definida substituindo
e
pelas funções específicas da sua região hachurada e os limites de integração
e
.
Resposta
O volume do sólido gerado é dado por:
Substituindo as funções e resolvendo a integral, você encontrará o valor numérico do volume.
Exercícios relacionados
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
e)
e)
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
b) e
e as retas
e
b)
Calcule os limites
c)
c)
Calcule os limites
f)
f)