Determine
d) O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo oy, da região hachurada do item ©

Passo 1

Então, você quer encontrar o volume do sólido que é formado ao girar a região hachurada do item © em torno do eixo . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o método dos discos ou cascas cilíndricas para volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar saber quais funções delimitam a região hachurada e como elas se comportam em relação ao eixo .

Passo 2

Primeiro, identifique as funções que delimitam a região hachurada. Vamos supor que a região está entre duas curvas e no intervalo de até .

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo , o método mais adequado é o das cascas cilíndricas. A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
  • é a distância da casca ao eixo de rotação ( ).
  • é a altura da casca, ou seja, a diferença entre as funções e .

Passo 4

Substitua pelas funções que delimitam a região. Se for a função externa e a interna, então:

Passo 5

Agora, substitua na fórmula do volume:

Passo 6

Calcule a integral definida substituindo e pelas funções específicas da sua região hachurada e os limites de integração e .

Resposta

O volume do sólido gerado é dado por:
Substituindo as funções e resolvendo a integral, você encontrará o valor numérico do volume.

Exercícios relacionados

Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
e)
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
b) e e as retas e
Calcule os limites
c)
Calcule os limites
f)