Calcule os limites:
© lim x 1 sen(x^4-1)x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, a gente vai usar conceitos de limites e derivadas, especialmente a Regra de L’Hôpital, que é super útil quando temos uma forma indeterminada como 0/0.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos :
  • No numerador:
  • No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma lim x 1 sen(x^4-1)x-1 = lim x 1 ddx[sen(x^4-1)]ddx[x-1] ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.
Ou seja:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada do numerador:
Usamos a regra da cadeia. A derivada de é ddx[sen(x^4-1)] = cos(x^4-1) cdot 4x^3 , onde .
Então:
  • Derivada do denominador:
A derivada de é simplesmente 1.

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas no limite:
lim x 1 cos(x^4-1) cdot 4x^31 = cos(1^4-1) cdot 4 cdot 1^3
Simplificando:
cos(0) cdot 4 cdot 1 = 1 cdot 4 cdot 1 = 4

Resposta

4

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